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1、第六章 弯曲变形,6.1 工程中的弯曲变形问题6.2 挠曲线的微分方程6.3 用积分法求弯曲变形6.4 用叠加法求弯曲变形6.5 简单静不定问题6.6 提高弯曲刚度的一些措施,6.1 工程中的弯曲变形问题,弯曲变形广泛存在，要控制和利用它，必须首先研究它。1）要控制弯曲变形的情况：2）利用弯曲变形的情况：3）求解弯曲超静定问题。,6.2 挠曲线的微分方程,1）梁的变形的度量 i）挠度：w 向上为正； ii） 转角：逆时针为正； iii） 挠曲线：变形后梁的轴线 iv） 挠曲线方程：w = f (x),2) 挠曲线微分方程:,曲率公式:,由微积分:,注意：坐标方向，w 向上为正， 若反向方程前有
2、负号。,6.3 用积分法求弯曲变形,1）基本公式：,C、D积分常数，由边界条件确定。,2）边界条件：,w = 0，= 0,w = 0,w1 = w2,i）固定端：,ii）简支端：,iii）铰链连接：,iv）连续性条件：,w1 = w2，1=2,B.C.：x = 0， w = 0 D = 0,例1：求挠曲线及wmax、max,解：,x = 0，= w = 0 C = 0,例2：求挠曲线及wmax、max,解：,B.C.：x = 0，w = 0 D= 0,x = l，w = 0 ,或：x = l/2，w = 0,例2：求挠曲线及wmax,解：,B.C.：x = 0，w1 = 0 D1= 0,x =
3、 l，w2 = 0， ,FRA=Fb/l,FRB=Fa/l,AB：(0x1a),BC：(ax2 b时，,讨论：,1）本题BC段的弯矩方程也可列为 但积分常数就不一样。,2）若a=b则要利用对称性，只求解一半，边界条件变为：,D=0,C=-Fl 2/16,例2：求挠曲线及wmax,分段:,边界条件:,当：x=0时，w = 0，w= 0,当：x=2a时，w = l,连续性条件：,当：x=a/2和3a/2时，w1 = w2，,当：x=a时，w1 = w2，,(0,0.5a), (0.5a,a), (a,1.5a), (1.5a,2a),3）刚度条件：,作业 61,6.1 6.4(a) 加均布载荷q，
4、M= -qa2/2,6.4 用叠加法求弯曲变形,原理：多个载荷作用，弯矩图可以叠加，,叠加法利用了已有的结果，所以较积分法简洁，是应用最广泛的方法之一。,是线性方程，所以w 也可以叠加，,1）多个载荷作用的叠加：,例1：求最大挠度。,解：,F,w1,w2,A,B,2）分段刚化（外伸梁、阶梯梁、刚架）,例2：求B及wC,解：,M = F1a,例3：求A端挠度及转角。,例4：求C点挠度,3）利用载荷的对称性和反对称性,对称载荷：M对称，FS反对称 对称面：FS=0，=0 简化为固支。,反对称载荷：M反对称，FS对称 对称面：M=0，w=0 简化为铰支。,例6：求力作用点的相对位移。,例7：求最大挠
5、度,4）叠加法的灵活应用,例8：求中点挠度,+,=,q,l,6.5 简单静不定问题,平衡方程不能求出全部反力静不定问题基本静定基：1）悬臂梁 2）简支梁 3）外伸梁加一个中间铰可增加一个支承,解题的基本方法：变形比较法,1）悬臂梁加支座,协调方程：,步骤：1、解除多余约束，用反力代替。2、计算约束点位移得到协调方程。,协调方程：,2）双跨梁：,协调方程：,协调方程：,3）多根梁：,协调方程：,协调方程：,4）装配应力：,试作剪力、弯矩图,例5：试求截面B的挠度与截面A的转角。梁的弯曲刚度为EI,F,6.6 提高弯曲刚度的一些措施,1）减小弯矩值载荷靠近支座集中力多个力分布力减小跨度增加支座2）
6、选择合理截面提高EI（不同钢材E基本相同）,作业 62,6.11 (b)6.236.36,5）变截面梁的计算,I是坐标的函数I(x)。,例9：求中点挠度。,D=0,6.21 直角拐AB与AC轴刚性连接，A处为一轴承，允许AC轴的端截面在轴承内自由转动，但不能上下移动。已知F=60N，E=210GPa，G=0.4E，试求截面B的垂直位移。,解：扭转引起的位移：,AB弯曲引起的位移：,F,6.24 悬臂梁如图所示，有载荷F沿梁移动。若使载荷移动时总保持相同的高度，试问应将梁轴线预弯成怎样的曲线？设EI=常数。,F,6.26 一端固定的板条截面尺寸为0.46mm，将它弯成半圆形。求力偶矩m及最大正应力max的数值。设E=200GPa。试问在这种情况下，能否用=M/W计算应力？能否用 计算变形？何故？,=628 =0.2m,2）分布载荷作为集中载荷的叠加,l,l,q,例2：求中点的挠度。,取距右端为x的微段dx,产生挠度：,总挠度：,
