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1、张峰：超前倒向重随机微分方程 时间段上的一系列BSDE，并应用BSDE的比较定理得到了超前BSDE的一般的比较定理，推广了文 献【3的结果 文献3，定理21揭示了一类随机延迟微分方程与超前BSDE的对偶关系，而利用此对偶关系可 以解决一些带延迟的随机控制问题，如文献【6-8受此启发，本文引入具有如下形式的超前BDSDE： J，一dYt=f(t， ，Zt， + (小Zt+ (t)dr+g(t，Yt， ， +皿( Zt+ ( )dBtZtdWt，0 ， =&， = ， +K 我们期望此类方程可以作为某类带延迟的重随机微分方程的对偶方程，从而可以由此解决一些相关的 随机控制问题 本文首先证明超前BD
2、SDE在Lipschitz条件下的解的存在唯一性，并给出解的 0估计；然后给 出几个一维情形下的比较定理，并举例展示比较定理的应用 一方面，超前BSDE可以视为超前BDSDE在9三0时的特例，所以，本文的结果可以退化为超 前BSDE的结果另一方面，在本文的五个比较定理中，。， 和。，0均可包含变量 的超前项即使在超 前BSDE的框架下，本文的比较定理也是文献f3，定理51的推广前两个比较定理(定理32和33) 指出，在 或，0关于变量Y的超前项单调增加的条件下，即使。厂 和，0都含有变量 的超前项，比 较结果仍然可能成立值得指出的是，这两个定理是用与文献3，定理511相似的方法证得的借助 前两
3、个比较定理的结果，第3和4个比较定理(定理35和36)指出，即使， 和， 均不关于变量Y 的超前项单调，只要存在一个函数关于变量Y的超前项单调且能被。， 和厂 界定，比较结果也可以成 立第5个比较定理(定理38)不需要任何函数关于变量Y的超前项单调；并且与前四个比较定理相 比，定理38可以研究。， 和，z中变量Y的超前项的超前时间不同的情形另外，有时我们并不需要 在整个区间f0，T】上的比较结果本文可以在假设条件于子区间【 ， 上成立的情况下得到该子区间 上的比较结果 需要指出的是，文献f9也研究了带Lipschitz系数的超前BDSDE，用压缩映像原理证明了方程 的解的存在唯一性，并用与文献
4、f5中相同的方法得到了一维情形下超前BDSDE的比较定理与文 献f91相比，本文所给出超前BDSDE形式更为一般；本文的比较定理所涉及的方程模型更广泛，我们 可研究， 和， 中的变量Y和z的超前项的超前时间都不同的情形另外，本文的比较定理表述清 晰，假设条件容易验证，证明思路直接简单，证明过程中所使用的将方程等价变形的技巧明显地简化 了证明过程，还有大量例子来展示比较定理的应用 2 超前BDSDE解的存在唯一性和解的估计 设(【2， ，p)为概率空间，E是概率p下的数学期望设 和 是两个非负常数， ，t0和 t0 是两个独立的标准Brown运动，分别取值于 和 对t0，T+ 】，定义 = v瑞
5、+ ，其中，对(= ，B， ， = (r ，sr)V ，而 为 中的 一零集用 L2(t； n)表示 一可测且满足EII20且00雨K (2)若假设(A2)成立，则对任意 0和非负可积函数 ()，有 ，T T+K e (s+T(s)dsL e3 h(s)ds Jt Jt 事实上， e38h(s+ (s)ds= e一 s)e s) (s+ (s)ds 厂T e卢(s+ (s)(s+ (s)ds 厂 + e卢s (s)ds， Jt Jt 其中，最后一个不等号用到了假设fA2) 给定S。( ，T+ ； )和叼M。( ，T+ ； nd)，考虑如下的超前BDSDE： Id =厂( ，Yt， ，Yt+ (
6、t)， + (t) 1 +9( ， ， ， +皿(t)，Zt+o(t)dBtZtdWt，0tT， (21) 【 ： ：叩cj +K， 其中，系数f和g是如下定义的：对任意的t0， ，s，r ，T+ 】， ，( ， ，Y， ， ， )：Q d ( ； )L。( ；R )L。( ； )， 9(t， ，Y， ， ， )：Q 。( ； )L。( ； )L (兀；lrtxk) 该超前BDSDE的解定义为满足方程(21)的一对过程(y，Z)M (0， + ； -几) 。(0，T+K； nd) 下面给出如下两个假设条件： (H1)存在常数C0，使得对任意的t0， 】，s，rIt， ，Y， n， ， n删，
7、， L2( ； )， ， L2( ； )，满足厂(， ，z， ， )M。(o， ； n)并且 If(t，Y， ， s， )一，(， ， ， ， )I c(1 一ol +l 一 l +EI 一 I。+E I 一 l 】) (H2)存在常数C0和01+ ，有 (1+ )(吾+1)i4一C (I丽+L)，有(1十 )(等+ )0，使得 supTYtL 2+J厂0 0tT J 呐 +o (I，(t,0,0,0,0 +I9(t,O,O,O,O + )叫 证明 为简单起见，记厂( )=，(， ， ， + (t)， + (t)，9( )=9( ， ，zt， +皿(t)， + (t)对ysI t8T，应用It
8、6公式得 +E T 2ds-2Eft T (s)ds+Eft ds 1227 张峰：超前倒向重随机微分方程 考虑到假设条件，应用基本的代数不等式便可得，存在依赖于 ，Q和 的常数C10，使得 El l + E s E T 巾-。+fT+Knj2)ds + E (f ，0)0，0j0 +l9(s,0,0,0,0 )ds 最后，使用Gr。rlwall不等式和BDG不等式可得到结论 口 3一维超前BDSDE的比较定理 本节研究一维超前BDSDE的比较定理，即n 是0，T中的任意数 1情形为符号简单起见，假设d： 1设 、 首先 出一维情形下BDSDE的比较定理对 =1，2，假设 L2(YT；豫)，且
9、厂z和gi分别满足 1殴设(H1)和(H2)设(y= ， )是如下BDSDE的唯一解， d =厂。(t， ，Z)dt+gi(， ， )d 一 dWt，0tT， 坼 下面的结论可以视为文献9，定理41】和1O，定理311的推广 引理31 假设 。 (2)， ( ， ， )，。(， ， )或厂 ( ， ，z5厂。(t， ，z5，a-s，ae_t ， (引夕 ( ， ， ) 9。(， ， )或gl( ， )=g2(t， ， )，as_，a_e_ ， ， 则有 y2，a_s_，aetfTo， 证明 不妨假设 ，a et ， j定义 = 一 ， g (t， ， )通过对1 l。，t El +f 2+E
10、T )，且gl(， ， )=g2(t， ， )，as， zy)， ( ， ， )， (t)=夕 ( ， ， ) rT 。如：2E )ds+EJt J )( 。 一方面，由假设(2)，(H1)和基本不等式得 2E )ds2E (t，。(s， ，z Hz( ， ，蛳 2C E J s+ 1- OE x z( ， ， )一， ( ， ， d ( + )E 蚺 E s 另一方面，由假设(3)和fu2)得 1228 E )( 。l (s)I2ds=EfTXLol9 ( ， ， )一夕 ( ，ys1， )Jz T ds+aE 中国科学：数学第43卷第12期 从而 一 E (c+ + )E ds，V _ 最
11、后使用Gronwall不等式即可得结论 口 下面开始研究一维超前BDSDE的比较定理对i=1，2，考虑 Jd =厂 ( ， ， ， )， + ) +gi(t， ， ， + (t)d 一 d ，0 ， 【 =器， = ， t +K 后文总是假定(A1)，(A2)，(H1)和(H2)成立，并且 S ( T+ ； )， M ( ，T+ ； )从而， 对 =1，2，该超前BDSDE存在唯一解( ， )注意到，此方程模型中的， 和，。都可以含有z的 超前项，且两者的超前时间可以不同 定理32 假设 (1)器 ，aS，aeT，T+K； (2)， (t， ， ， 1+ ( )， ( )，。( ， ， ， l
12、+ ()， 。( )，a_s_，a_e ， ； (3)对任意的 ， ，( ， )R ， L。( ； )和r，T+ ，。( ， ， ， )单调增加，即 若 ；， ， ；L ( ； )，s ，T+ ，则， ( ， ，2， ， )厂 (t， ，z， ， )； (4)91( ， ， ， l+ (t)，Z抖1 (t)=g2(t， ， ， 口。(t)， ：(t)，as，ae ， ， 则有 ，as，aetTo，T+吲 证明 对i=1，2，记 F (， ， )=， (， ， ， (t)， + t(t)，Gi( ， ，名)=夕。(， ，z， 皿。(t)， + t(t)， 则( ， )也是下面的方程的唯一解， J
13、d =F (， ， )出+G ( ， ， )ribtzdwt，OtT， ：受， ： ， + 定义， ( ， ， )=， (t， ， ， l+ ( )， 。( )，则容易验证如下方程存在唯一解( 。， )， Id =产( ， ， ) +G (t， ， )d 一 d ，O T， I =器， =叩，T T+K 考虑到假设(1)，(2)和(4)，由引理31可以推出， ，a-s，ae_To， ，从而， ，as， a-e_t【To，T+ 设( ， )是如下方程的唯一解， Jd =厂。( ， ， )， 。(t)出+G ( ， ， )dBt一 d ，0 T， I =器， =叼，TtT+K 由假设(3)和y y
14、。可知，y2(t， ， ， 1+ (t)， 。(t)厂 (t， ， ， (t)， 。(t)，as，ae ， 】从而，可由引理31得 ，as，a_e ， ，进而， ，a-s，aetTo，T+困 类似地，对J5定义 Jd =，。(t， ， ， t)， 。(t)出+G (， ， )d玩一 d ，0tT， l =孽， = ，T T+K (31) 1229 张峰：超前倒向重随机微分方程 则使用引理31并结合归纳法可得4 一 ，a_s，a t ，T+ 从而， 对J3， ， as，a-et ，T+吲 (32) 现在来证明( ，z )是M2(0，T+K；酞)M (0，T+K； )中的Cauchy列记 ： _。一 ： 一 一，并定义FJ(t)：f2(t， ， ， )一f2(， ， -。， 跟 t) dJ(t)：G2(t， ， )一G2(t， 一， )则当J5时，( ，2J)满足 fd ：F3(t)dt+GJ(t)dBt一 dWt，0tT， I =0， =0，TtT+K 对e t J l。应用It6公式，在0， 上积分并取期望得 E T e芦t( 1 1。 。)dtE门e t(2 户( )+10(t)1 )dr E o e芦 ( 1 1。+12I。 EJo e芦 (2 ( )+1G( )1 一方面，使用基本不等式并利用假设(H1)和(A2)可得 (33) e t ，(t 鲁E e +丢E T e
