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1、函,数,的,应,用,第三章,本章内容,3.1 函数与方程,3.2 函数模型及其应用,第三章 小结,3.1 函数与方程,3.1.2 用二分法求方程的近似解,3.1.1 方程的根与函数的零点,复习与提高,3.1.1,方程的根与,函数的零点,返回目录,1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上的点有什么关系?,2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数的图象、对应方程的解有什么关系?,3. 如何确定函数在区间 (a, b) 内有无零点?,1. 函数与方程,问题1. 画出函数 y=x2-2x-3 的图象, 并求出方程 x2-2x-3=0 的根, 观察函数图象上什么位置的点与方程的根有
2、联系?,解 x2-2x-3=0 得,x1= -1, x2=3.,一个函数使 y = 0 就变成了方程,方程的根就是函数图象与 x 轴交点,的 x 坐标.,x2-2x-3=0 的根,x1= -1, x2=3.,x2-2x+1=0 的根,x1= x2=1.,x2-2x+3=0,=4-12 = -8 0时, 二次方程有两不等实根, 相应的二次函数的图象与 x 轴有两个交点;,(2) 当=0时, 二次方程有两相等实根, 相应的二次函数的图象与 x 轴只有一个交点;,(3) 当0时, 二次方程无实根, 相应的二次函数的图象与 x 轴无交点.,2. 函数的零点,对于函数 y=f(x), 我们把使 f(x)
3、=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点.,函数 y=f(x) 的零点, 就是函数图象与 x 轴的交点的 x 坐标; 就是方程 f(x)=0 的根.,方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x) 有零点,问题2. 对于函数 y=f(x), 如果 f(a)f(b)0, 则点(a, f(a), (b, f(b) 的位置有什么特点? 如果函数的图象在区间a, b上是连续不断的, 那么这个图象在区间(a, b)内与 x 轴一定相交吗?,(a, f(a),(b, f(b),(a, f(a),(b, f(b),(1) 如果函数 y=f(x) 在区间
4、a, b 上的图象是一条连续的曲线, 并且有 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在 c(a, b), 使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根, 即函数 y=f(x) 的零点.,两点分别在,x 轴的两旁.,f(a)f(b)0,问题2. 对于函数 y=f(x), 如果 f(a)f(b)0, 则点(a, f(a), (b, f(b) 的位置有什么特点? 如果函数的图象在区间a, b上是连续不断的, 那么这个图象在区间(a, b)内与 x 轴一定相交吗?,(a, f(a),(b, f(b),(a, f(a),(b, f(b)
5、,(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 a, b 上是连续的单调函数, 并且有 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.,两点分别在,x 轴的两旁.,f(a)f(b)0,例1. 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数.,分析:,目标:,(2) 求单调区间 (a, b), 有几个;,(3) 判断是否有 f(a)f(b)0.,思路:,寻找单调区间 (a, b), 使 f(a)f(b)0,这样的区间有多少个, 就有多少个零点.,(1) 确定定义域;,例1. 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数.,解:,f(x)的定义域为:,f(
6、e2)=2+2e2-6,即 f(1)f(e2)x20,f(x1)-f(x2)=lnx1-lnx2+2(x1-x2),y=lnx是(0, +)上的增函数,lnx1-lnx20, x1-x20,得 f(x1)f(x2),函数f(x)在(0, +)单增.,f(1)= -4 0,(0, +).,即函数在整个定义域只有一个单调区间.,在区间内估值两点(a, f(a), (b, f(b), 使f(a)f(b)0.,例(补充). 方程 log2x+x+a=0 有一根在 1 与 2 之间, 求 a 的取值范围.,分析:,方程在 1 与 2 之间是否只有一根?,若只有一根, 则得不等式 f(1)f(2)0,步骤
7、:,(1) 证函数在区间 1, 2 上单调;,(2) 解不等式 f(1)f(2)0.,问题:,即可解 a 的范围.,例(补充). 方程 log2x+x+a=0 有一根在 1 与 2 之间, 求 a 的取值范围.,解:,任取 1x1x22,得 f(x1)f(x2),函数在区间 1, 2 上是单增函数.,于是有 f(1)f(2)0,即 (log21+1+a)(log22+2+a)0,解得 -3a-1.,f(x1)-f(x2)=log2x1+x1+a-(log2x2+x2+a),得 (a+1)(a+3)0,即 a+1 与 a+3异号,=log2x1-log2x2+x1-x2, 0.,则方程在 1 与
8、 2 之间只有一根,问题3. 你能分别说出一次函数, 二次函数, 反比例函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数的零点个数吗?,一次函数,一个零点.,二次函数, 有0个,或1个, 或2个零点.,反比例函数,无零点.,指数函数,无零点.,对数函数,一个零点.,练习: (课本88页),第 2 题.,2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;,1. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为( ) (A) (0, 1) (B) (1, 2) (C) (2, 3) (D) (3, +),练习: (补充),1. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为( ) (A) (0
9、, 1) (B) (1, 2) (C) (2, 3) (D) (3, +),解:,设 f(x)=lgx+x-3,f(x) 在(0, +)上是增函数,f(1)= -2,f(2)=lg2-1,f(3)=lg3,0,f(2)f(3)0,方程的解在2与3之间.,C,练习: (补充),0,解:,设 f(x)=x2+bx-1,则方程 x2+bx-1=0有两不等实根.,f(1)f(2)0,即 b(2b+3)0,2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;,2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (
10、2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(1),练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(1),函数在(1, 2)上有一个零点.,点击: 绘图绘制新函数-x3-3*x+5确定,练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函
11、数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(2),练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(2),函数在(3, 4)上有一个零点.,点
12、击: 绘图绘制新函数2*x*函数ln(x-2)-3确定,练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(3),练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4)
13、f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(3),函数在(0, 1)上有一个零点.,点击: 绘图绘制新函数数值e(x-1)+4*x-4确定,练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5; (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(4),练习: (课本88页),2. 利用信息技术作出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f(x) = -x3-3x+5;
14、 (2) f(x) = 2xln(x-2)-3; (3) f(x) = ex-1+4x-4; (4) f(x) = 3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,解:,(4),点击: 绘图绘制新函数3*(x+2)*(x-3)*(x+4)+x 确定,练习: (课本88页),【课时小结】,1. 方程的根与函数的零点,方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x) 有零点,方程 f(x)=0 的根 就是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的 x 坐标; 就是函数 y=f(x) 的零点.,【课时小结】,2. 求函数的零点所在区间,(1) 如果函数 y=f(x) 在区间 a, b 上的图象连续不断, 且 f(a)f(b)0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.,
