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1、,基本积分法: 直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4.1 有理函数的积分,4.4.2 可化为有理函数的积分举例,4.3 有理函数的积分,4.4.1 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.有理函数的分解,例1 将下列真分式分解为部分分式:,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,确定部分分式系数的方法:,通分,去分母得,比较系数得,从而,故 原式,拼凑法、待定系数法、赋值法,解 设,通分,去分母得:,即,比较恒等式两
2、边得系数,得方程组,整理得,解 设原式,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,例2 求,解 已知,例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束,2. 有理函数的积分,例3 求,解 原式,思考 如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 求,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5 求,解 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6 求,解 原式,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系
3、数定 a , b , c , d , 得,第二步 化为部分分式 .即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4.2 可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.三角函数有理式的积分,则,例7 求,解 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,另法 P154,例8 求,解,说明 通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 求,解 因被积函数关于
4、cos x 为奇函数,可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注 若被积函数关于 sinx 为奇函数,可令,例10,求不定积分,解,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 ,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例11 求,解 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12 求,解 为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2 ,3的,最小公倍数6 ,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13 求,解 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便,如何求下列积分更简便?,解 1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,备用题1.,求不定积分,解,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高, 宜使用倒代换.,2. 求不定积分,解,原式 =,前式令,; 后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
