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1、第三章 三维转动群第三章 三维转动群 3.0 李群简述李群简述 李群是一种连续群，每个群元可以用一组（m 个）独立的实参数描写这些参数称为群参数个）独立的实参数描写，这些参数称为群参数。 这组参数可以在欧氏空间的某个区域内连续变 化这个区域称为参数空间化，这个区域称为参数空间。 通常选取合适的群参数，使得 1. 参数空间内，群参数和群元一一对应 2. 单位元对应的群参数都为0 独立实参数的数目定义为连续群的阶也是参 3. 群参数连续变化时，群元也连续变化 独立实参数的数目定义为连续群的阶，也是参 数空间的维数。 李群的群参数李群的群参数 群元乘法规则g(a)g(b)=g(c)可以通过群参数 a
2、,b,c的函数关系体现：c=F(a;b) 群的乘法规则要求群的乘法规则要求 当F(b)对于 和b是连续可微函数时G为李群当F(a;b)对于a和b是连续可微函数时，G为李群 当a和b为小量时 3.01 李群的局域性质 生成元 李群的局域性质 无穷小元素 幺正变换算符 生成元反厄米X + i = Xi 定义厄米生成元Ji = iXi= i g ai a=0 非无穷小群元 a0 g(a) = eia iJi 非无穷小群元 g( ) 生成元的对易关系成元的对易关系 阿贝尔群阿贝尔群 生成元彼此对易 非阿贝尔群非阿贝尔群 Xi;Xj = C k ijXk Jacobi恒等式 X X X + X X X
3、+ XX X 0 结构常数 Xi;Xj;Xk + Xj;Xk;Xi + Xk;Xi;Xj = 0 C k ij =C k ji; C l ijC n kl + C l jkC n il + C l kiC n jl = 0 3.02 李群的整体性质李群的整体性质 连通性：群中任意两元素在参数空间中的对应 点过条完全包含在群空间内的路径点，可以通过一条完全包含在群空间内的路径 连接，则参数空间连通。这样的李群称为简单 李群；反之，混合李群。 混合李群一般由若干连通区域组成，每个连通混合李群般由若干连通区域组成，每个连通 区域称为叶，恒元所在的连通区域对应的群元 素构成李群的不变子群其余区域构成相
4、应陪素构成李群的不变子群，其余区域构成相应陪 集。 A B O A B 李群的整体性质李群的整体性质 连通度：参数空间内，可以连续变化的曲线的 组数组数。 数学上已证明：若简单李群G为n度连通，则数学明若简单李群 为 度连通则 一定同态于某单连通的李群G（1对n），G称 为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表 示。 紧致性若参数空间为欧氏空间中包含边界的紧致性：若参数空间为欧氏空间中包含边界的 闭区域，则紧致；若开区域，则非紧致。 紧致建立参数空间的积分将有限群对群元求 和进行推广。 群积分群积分 对群元的求和变为对群参数的积分对群元的求和变为对群
5、参数的积分 1 X ! Z dR ! Z drW(r) g X R2G ! Z dR ! Z drW(r) 权函数W(r) W(0) = W(r) Det Fi(a;r) aj a0 j a=0 3.03 有限群到紧致李群的推广有限群到紧致李群的推广 群表示的正交定理 Z dRDa(R)Db(R) 1 ab Z dRDa (R)D b (R) = na ab 特征标正交定理 Z dRa(R)b(R) = ab Z 有限群到紧致李群的推广有限群到紧致李群的推广 线性表示等价于幺正表示线性表示等价于幺表示 等价的幺正表示可以通过幺正的相似变换联系 实表示等价于实正交表示实表示等价于实正交表示 可约
6、表示完全可约。 不可约表示的充要条件 Z hji = Z dR(R)(R) = 1 i Z i ai= hiji = Z dRi(R)(R) 3.1 三维空间中的转动维空间中的转动 三维欧氏空间中的位置矢量 r = 3 X i=1 xi eiR r ! r 0; R为保持空间两点间距离不变的固有转动，全 部的R构成三维转动群。 i1 部的 构成维转动群 以三维欧氏空间为表示空间，有实表示D r 0 = D(R) r;r0= r 组成维幺模实正交矩阵群称为 r = D(R)r;r = r DT(R)D(R) = 1;DetD(R) = +1 D(R)组成三维幺模实正交矩阵群，称为SO(3) 群，
7、是O(3)群的不变子群 3.1.1 SO(3)的生成元( )的成元 无穷小元素R = 1 + M = 1 + aiXiXi= g ai 0 M为反对称实矩阵 01 a a=0 RTR = 1 ) M T = MM = 0 0zy z0x yx0 1 A = aiXi 生成元 yx0 A 生成元 X 0 000 001 1 X 0 001 000 1 X 0 010 100 1 X 0 000 001 1 X 0 001 000 1 X 0 000 001 1 X 0 001 000 1 Xx= 0 001 010 1 A Xy= 0 000 100 1 AXz = 0 100 000 1 A
8、Xx= 0 001 010 1 A Xy= 0 000 100 1 A Xx= 0 001 010 1 A Xy= 0 000 100 1 A 厄米生成元厄米成元 构造厄米生成元Ji= iXi构造厄米成元 J 0 0i0 i00 1 J 0 000 00i 1 J 0 00i 000 1 Jz= 0 i00 000 1 A Jx= 0 00i 0i0 1 A Jy= 0 000 i00 1 A 对易关系 无穷小元素 Ja;Jb = i X c abcJc 无穷小元素 R = 1 iwaJa= 1 iw n J 非无穷小元素 R = eiw n J = R( n;w) 绕坐标轴的转动绕标轴的转动
9、 绕z轴转动w角 R(ez;w) = eiwJz= 1 + (iwJz) + 1 2 (iwJz)2+ = 0 coswsinw0 sinwcosw0 1 A 同样 001 A 同样 0 100 10 cosw0sinw 1 R(ex;w) = 0 0coswsinw 0sinwcosw 1 AR(ey;w) = 0 010 sinw0cosw 1 A 3.2 轴转动表示法 z 轴转动表示法 绕n轴转动w角 R( n;w)绕 轴转动 角 为单位矢量方位角为 () ( ) y n为单位矢量，方位角为(;) 2 0 2 0 2)x 转动角 w 2 0; 2 0;2)x w 2 0 转动角 w w
10、2 0; R( n;w) = R( n;2 w) n : ( ; + ) 3.2.1 三维转动群的类维转动群的类 绕n轴转动w角 vs 绕n轴转动w角绕n 轴转动w角 vs 绕n轴转动w角 R( n0;w) = R( n! n0)R( n;w)R( n0! n) R( n0! n) n0= n 绕不同轴转动相同角度的转动群元同类 () 互为逆元素 绕不同轴转动相同角度的转动群元同类。 用转动角w标记类Cw，w 2 0; 通常选取Cw中的R(ez,w)作为代表 3.2.2 三维转动群的基础表示维转动群的基础表示 绕n轴转动w角绕 轴转动 角 R( n;w) = R(ez! n)R(ez;w)R1
11、(ez! n) n轴的方位角 (;) z R(ez! n) = R(ez;)R(ey;) = S(;) y = 0 coscossincossin sincoscossinsin 1 A x sin0cos A 三维转动群的基础表示维转动群的基础表示 R( n;w) = S(;)R(ez;w)S1(;) = 0 B n2 x(1 cosw) + cosw nxny(1 cosw) nzsinwnxnz(1 cosw) + nysinw nxny(1 cosw) + nzsinwn2 y(1 cosw) + cosw nynz(1 cosw) nxsinw 1 C A y nxnz(1 cosw
12、) nysinwnynz(1 cosw) + nxsinwn2 z(1 cosw) + cosw A n = sincos n = sinsin n = cos 可以验证 nx= sincos; ny= sinsin; nz= cos R( n w) = eiw n J = eiw aJa 可以验证R(n;w) = e= e 特征标 (w) = 1 + 2cosw 3.2.3 轴转动表示法的参数空间轴转动表示法的参数空间 群参数 (wx;wy;wz) = (w; n(;) =f wg w20; 20; 20;2) 所有的矢量构成参数空间， w20; 20; 20;2) R( n w) = R(
13、 n 2w)R(n;w) = R(n;2w) )R(n;) =R(n;) 参数空间的连通性参数空间的连通性 简单李群 a b a bb 参数空间只有一叶参数空间只有一叶 参数空间的连通度参数空间的连通度 路径1：无跳跃 路径2：1次跳跃 路径 ：无跳跃 a a a b R(n;) =R(n;) 路径32次跳跃=没有跳跃路径3： 2次跳跃=没有跳跃 aa 结论：根据跳跃次数的奇偶，有两类不同的 路径所以SO(3)群连通度为连通度为2路径，所以SO(3)群连通度为连通度为2. 3.2.4 参数空间上的积分参数空间的积分 参数空间fg参数空间fwg 11 Z w Z Z 2 1 g X R2G !
14、1 22 Z 0 sin2 w 2 dw Z 0 sind Z 0 d 特征标的内积 hijji= 2 Z dwsin2 w 2 i(w)j(w)hji Z 0 2 ( )( ) 3.3 SO(3)群的欧拉角表示( )群的欧拉角表示 绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现 1. 绕z轴转动alpha角 R(e) r= r 0 0 CG系数的正交关系 X m m SJM;m1m2SJ0M0;m1m2= JJ0MM0 SS+= 1 S+S = 1 m1m2 X JM SJM;m1m2SJM;m0 1m02 = m1m0 1m2m02 JM 3.10 李氏三定理李氏定 定理一：简单李群的线性表示完全由其生成元定理：简单李群的线性表示完全由其生成元 决定。 推论一：若D和D表示的生成元满足 1 则二表示等价。 I 0 j = X 1IjX 推论二：简单李群表示不可约的充要条件是表推论二：简单李群表示不可约的充要条件是表 示空间不存在对所有生成元不变的子空间。 李氏三定理李氏定 推论三：若简单李群的两个不等价不可约的表 示，其维数分别为m1和m2，其生成元分别 为和，若存在矩阵M，使得 I (1) j I (2) j I (1) j M = MI (2) j 则。 IjMMIj M 0 推论四：与简单李群不可约表示所有生成元矩推论四：与简单李群不可约表示所有生成元矩 阵都对
