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1、1 第十九章习题 早期量子论和量子力学基础 19-1：维恩位移定律： 3(2.89810)mTbbl -= 331 612.89810 5.3100.5510mbTKKl-= 331 612.89810 8.3100.3510mbTKKl-= 341 612.89810 1100.2910mbTKKl-= 19-2: 斯特藩波耳茨曼定律：4824(5.6710/()MTwmkss -= 114443822.810 1.42105.6710MTKs= 193：(1) 最大动能： max34819719()6.6310310 4.21.6102103.225102kcEhAhAJeVn l-=-=
2、-=-=2 (2) max19max19()() 3.22510 21.610kkeUEEUV-=(3)34870 196.6310310 2.96104.21.610hc mmAl-= = 19-4：(1) 视网膜接收到光的能量为： 8341971831056.6310105101.9910cWnnhnhJJen l-=(2)功率为： 181.9910EPwt-=195： （1）每秒落到地面上单位面积的光子数量是：12834719128113106.63105102.0110nsmsm-=3 (2)每秒钟进入人眼的光子数是： 23183471413813.141023106.63105101
3、.4210NSS-=19-6: (1) 光子的频率为： ( )2020231820349.110310 1.236106.6310hmcmchHZHZnn-=(2) 光子的波长： ( )3431806.6310 0.29.110310h mAmcol-= (3)光子的动量： ( )318102219.1103102.7310hPmckgmskgmsl-= 19-7: 光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的关系。 两者的区别源于产生这两效应的能量范围大不相同。光电效应中光子的波长在光学
4、范围，能量的数量级是几个 eV，金属中电子逸出功的数量级是 1eV。在线性光学范围内的光电效应中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在X射线波段，具有 410 eV数量级的能量，相对来说电子逸出功和电子热运动的能量等都可忽略，原子的外层电子可看4 作是自由的、静止的。所以，康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞问题，系统的能量和动量都守恒。 可见，光电效应和康普顿效应虽然同为光子和电子的相互作用，但是它们发生的概率是与光子的能量有关的。一般说来，发生光电效应的概率随着光子能量的增大
5、而迅速减小。 19-8：散射光子的能量与反冲电子的动能之比： 6=55=6165kkchEElelleeeeee=-=Q 散入入散入 入散散且19-9 波长00 A708.0=l 的X射线在石蜡上受到康普顿散射，求在2p 和p方向上所散射的X射线波长各为多大？ 解：根据波长改变公式 )cos1(00 qlll -=-=D cmh 散射线波长可以表示为 m1008.7m10)cos1(426.2)cos1( 111200- +-=+-= qlqlcmh 当 2pq = 时： oA732.0m1032.7 11 = -l 当 pq = 时： oA756.0m1056.7 11 = -l 19-10
6、 已知X光子的能量为0.60MeV，在康普顿散射之后变化了20%，求反冲电子的能量。 5 解： nnl hhEEEe -=-= 00 ， 已知 00 2.0 llll =-=D ，得02.1 nn cc = ，得 2.1 0nn = ， MeV10.0MeV)2.1 12.1(60.02.1 00 =-=-= nn hhEe 19-11 在康普顿散射中，入射光子波长为00 A030.0=l ，反冲电子的速度为0.60c，求散射光子的波长及散射角。 解：反冲电子的能量增量为 2020220202 25.06.01cmcmcmcmmcE =-=-=D 电子增加的能量等于光子损失的能量， 20025
7、.0 cmhchc =- ll 散射光子波长 1083134103400010030.0103101.925.01063.610030.01063.625.0 -=-= lllcmhh oA043.0m103.4 12 = - 由康普顿散射公式 )cos1(00 qlll -=-=D cmh 得 rad465.0cos =q ， 1762=q 19-12 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV的光子。 （1） 试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级？ （2） 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线？请将这些跃迁画在能级图上。 6 解：（ 1 ） 由 eV6.13221 nnEEn
8、 -= 得 eV75.12)11(6.13 21 =-=- nEEn 故 4=n ，第三激发态。 （2）可发出六条谱线，分别是 41l 、 42l 、 43l 、 31l 、 32l 、 21l 。如下图， 9-13 以动能 12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能级？当回到基态时能产生哪些谱线？ 解：设氢原子全部吸收12.5eV能量后，最高激发到第n和能级，则 )111(6.13 221 nEEn -=- 得到 5.3=n ，只能取整数， 所以最高激发到 3=n ，可发3条谱线。 n从 13 ： RR 98)3111( 221 =-=n ， oA1026m10026.1
9、89 71 = -Rl ； n从 12 ： RR 43)2111( 222 =-=n ， oA1216342 = Rl ； n从 23 ： RR 365)3121( 223 =-=n ， oA65635363 = Rl ； 4=n32121l42l43l41l 31l32l7 19-14 处于基态的氢原子被外来单色光激发时，发出巴尔末系中只有两条谱线，试求这两条谱线的波长及外来光的频率？ 解：巴尔末系是由 2n 的高能级跃迁到 2=n 的能级发出的谱线，只有两条谱线说明激发后最高能级是 4=n 的激发态。 eV85.04 6.1324 -=-=E eV51.13 6.1323 -=-=E eV
10、4.32 6.1322 -=-=E 而 mn EEhc-=l 所以 oA6573m106573 1023=-= -EE hcal oA487224=-= EE hcbl 基态氢原子吸收一个光子 nh 被激发到 4=n 的能态 lnhcEEh =-=14 Hz1008.3 1514 =-= h EEn 9-15 当基态氢原子被 12.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少倍？ 解： 09.12)111(6.13 221 =-=- nEEn 得 3=n 而 11212 93 rrrnrn = ， 轨道半径增加到9倍。 9-16 德布罗意波的波函数与经典的波函数的本质区别是什么？ 答：德
11、布罗意波是概率波，波函数不表示实在的物理量在空间的波动，其振8 幅无实在的物理意义， 2f 仅仅表示粒子某时刻在空间的概率密度。 19-17. 为使电子的德布罗意波长为1，需要多大的加速电压？ 解：电子的德布罗意波长与加速电压之间的关系式为 19313410106.1101.9210626.62101 -=VeVmhphmel 计算得V=150.77特. 19-18.具有能量 15eV 的光子,被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收,形成一个光电子.问此光电子远离质子时的速度为多大?它的德布罗意波长为多大? 解：氢原子中处于第一玻尔轨道的电子的电离能为13.6eV，所以形成的光电子的动能为1.
12、4 eV。光电子的德布罗意波长与光电子的动能之间的关系式为 mEmhphke9193134100377.1106.14.1101.9210626.62-=l 光电子的速度与光电子的动能之间的关系式为 smmEvek /107101.9106.14.122 53119= = -19-19.光子与电子的波长都是2.0 ，它们的动量和总能量各为多少？ 解：光子与电子的动量相等且等于 smkghp /.10313.3102 10626.6 241034-= = l 光子的总能量为 JhchEg 161083410919.9102 10310626.6 -= = lg 电子的德布罗意波长与电子的动能之间
13、的关系式为 mEmhphke101022-=l 所以电子的动能为37.7eV 电子的总能量为 keVEcmE kd 0377.51120 =+= 19-20. 已知中子的质量 mn=1.6710-27kg,当中子的动能等于温度 300K 的热平衡中子气体的平均动能时，其德布罗意波长为多少? 解：中子的平均动能为： JkTEk 211021.65.1 -= 9 中子的速率为 smmEvnk /107.22 3= 其德布罗意波长为 nmph 15.0=l 19-21. 一个质量为m的粒子，约束在长度为L的一维线段上。试根据测不准关系估算这个粒子所具有的最小能量的值。 解：根据测不准关系得 Lp 2
14、hD 由于动量的数值不可能小于它不确定量，故粒子的动量 Lp 2h 所以粒子所具有的最小动能的值为 22282 mLmpEkh= 19-22 从某激发能级向基态跃迁而产生的谱线波长为4000 ，测得谱线宽度为10-4 ，求该激发能级的平均寿命。 解：频率与波长之间的关系为 lg=c （1） 对（1）式两边微分得 lggl dd +=0 （2） 所以得 84105.2400010 -=D=D=D EEggll （3） 根据（3）式得 JchhEE 26888 1024.1105.2105.2105.2 - =D lg （4） 根据测不准关系得 sEt 91025.42 -=DD h （5） 19
15、-23 一波长为3000oA的光子，假定其波长的测量精度为百万分之一，求该光子位置的测不准量。 10 解：动量与波长之间的关系为 ph l= （1） 对（1）式两边微分得 ll pddp +=0 （2） 所以得 610-=D=Dppll （3） 根据（3）式得 l/1010 66 hpp - =D （4） 根据测不准关系得 mpr 2103889.22 -=DD h （5） 19-24 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为 axax 23cos1)(0 py =)( axa - 那么，粒子在x=(5a)/6处出现的概率密度为多少？ 答：粒子在x=(5a)/6处出现的概率密度为 aaaaa 2162 53cos1)65( 220 = pyr 25. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： )sin(2)( axnaxn py = )0( ax 若粒子处于 1=n 的状态，在0 a41 区间发现粒子的概率是多少? 解：概率密度 2 22
