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1、第三章 刚体力学,1 刚体运动的描述,1. 刚体,特殊的质点系，, 理想化模型,形状和体积不变化,2. 自由度,确定物体的位置所需要 的独立坐标数, 物体的自由度数,s,O,i = 1,x,y,z,O,( x , y , z ),i = 3,i = 2,x,y,z,O,i = 3+2+1= 6,当刚体受到某些限制 自由度减少,3.刚体的平动,刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行, 刚体平动,平动的特点,(1) 刚体中各质点的运动情况相同,(2) 刚体的平动可归结为质点运动,4.刚体绕定轴转动,z,M,I,II,P,角坐标,角速度,角加速度,(1) 描述 刚体绕定轴转动的角
2、量,刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_刚体转动,转轴固定不动, 定轴转动,(2)定轴转动刚体上各点的速度和加速度,当,与质点的匀加速直线运动公式相象,定轴,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,瞬时轴,任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同,例题3-1 设发动机飞轮的角速度在12s内由1200 r/min均匀地增加到3000r/min，试求：(1)飞轮的角加速度；(2)在这段时间内发动机飞轮转过的圈数。,解：本题中的飞轮作匀加速定轴转动,(2) 计算12s内飞轮的角位移,飞轮在这一段时间内转过的圈数为,例题3-2 中子星(又称
3、脉冲星)是恒星衰亡时坍缩而成的一种密度很大( ) 、半径很小的星体。中子星在形成时，获得了很大的自转角速度。设中子星的自转是匀角速转动的，转一圈的时间为 。已知中子星的半径为8km，试求中子星的自转角速度，中子星赤道上一点的速度和法向加速度。,解：中子星的自转角速度为,赤道上一点的速度大小和法向加速度分别为,上述中子星的 和 与地球表面处的第二宇宙速度和重力加速度 的关系为,由此可见，中子星赤道处的速度和法向加速度都非常大。要使星体表面的物质不被离散掉，在中子星体表面附近必然有很强的引力场。,2 刚体定轴转动的转动定律,1. 力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力 F 对z 轴的力
4、矩,力矩取决于力的大小、方向和作用点,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,h,A,力矩是矢量,(1) 此时力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力矩的方向;,(2) 若有n个质点作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;,例,已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图),解,根据力矩,dx,例如,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对y轴的力矩,刚体的 转动定律,作用在刚体上 所有的外力对定轴 z 轴的力矩的代数和,刚体对 z 轴的转动惯量,(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大,(2) 力矩相同，若转动惯量
5、不同，产生的角加速度不同,2. 刚体对定轴的转动定律,实验证明,当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动,当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比,讨论,在国际单位中 k = 1,矢量式:,O,转动定律可由牛顿定律推得,取一质量元,切线方向,对固定轴的力矩,对所有质元,合内力矩 = 0,合外力矩 M,刚体的转动惯量 J,3. 转动惯量,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,(1) J 与刚体的总质量有关,例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,(2) J 与质量分布有关,例如 圆环绕
6、中心轴旋转的转动惯量,例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,4. 平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,z,(3) J 与转轴的位置有关,平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,例 均匀细棒的转动惯量,M,L,平行轴定理表明：,在所有的平行轴中，以绕通过质心轴的转动惯量为最小！,例 求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为R体密度为。,解：将球分为一系列的圆盘,任一圆盘的质量：,对与球体相切的轴转动惯量又为多少？,例 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何
7、计算？(棒长为L , 球半径为R）,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区 别,转动定律的应用举例,例,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图),一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的 ,O,l,m,C,x,解,取一质元,重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩！,dm,例,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
8、,解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,例 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打 击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,例题3-4 试求质量均匀分布的圆柱体对其对称轴z轴的转动惯量。已知该圆柱体的质量为M，高度为h，半径为R。,解：取半径为r宽为dr 的薄圆壳，其质量为,例题3-5 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2。设滑轮的质量为m，半径为r，滑轮所受的摩擦阻力矩为Mr，绳
9、与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,例题3-5 阿特伍德机,解：因m1m2，设物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转。按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程：,滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,令m=0、Mr=0时，可解得,该题中的装置叫阿特伍德（Atwood）机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。在实验中可使两物体的质量相近，从而使它们的加速度a和 都较小，这样就能较精确地测出a来。,例题3-6 一个飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m，正在以0=1000 rmin-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下
10、来。求闸瓦对轮子的压力N为多大?假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为k=0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上 。,解：飞轮在制动的角加速度,摩擦力对轮的转轴的力矩为,解得,3 刚体定轴转动的动能定理,1. 转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,其动能为,各质量元速度不同，但角速度相同,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,2. 力矩的功,O,功 的定义,力矩作功的微分形式,对一有限过程,若 M = C,( 积分形式 ）,力的累积过程力矩的空间累积效应,P,3. 转动动能定理, 力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴
11、转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2) 力矩的功就是力的功。,(3) 内力矩作功之和为零。,讨论,(1) 合力矩的功,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,例题3-8 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位
12、置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。,解：在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支承力N通过O点，所以支承力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mgcos。当棒转过一个极小的角位移d时，重力矩所做的元功是,重力矩所做的总功为,重力矩做的功也就是重力做的功。,例题3-9 有一个半径为r的匀质圆柱体，从其质心距地面高为h的滑道上由静止滚动而下，进入半径为R的圆环形滑道。设圆柱体在两段滑道上均作纯滚动。问此圆柱体能在圆环形滑道内完成圆周运动时，h至少需有多大的值?,例题3-9,解：设圆柱体滚到圆环形滑道的顶点P处时，圆柱体质心的速率为 ，它绕圆柱体质心的角速度为，并设圆柱体质量为
13、m。 取圆柱体、弯形和圆形滑道以及地球为一个系统，在圆柱体下滑过程中机械能守恒，应有,由于圆柱体在圆环形滑道顶点时的质心运动方程为,圆柱体能完成圆周运动的条件应当是F0，即,一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律,1. 质点的动量矩(对O点),其大小,(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关,特例：质点作圆周运动,4 角动量和角动量守恒定律,说明,O,S,惯性参照系,(2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距
14、离分别为d1 、d2 、 d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量,2. 质点的动量矩定理,说明,(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因,(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,3. 质点动量矩守恒定律,质点动量矩守恒定律,(2) 通常对有心力：,例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过O点,M=0,动量
15、矩守恒,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行的初速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星，,质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向,O,(所有质元的动量矩之和),2. 刚体定轴转动的动量矩定理,由转动定律,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,(1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩,说明,3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,
