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1、20102010 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 一一 试试 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分， ）分， ） 1. 函数f() = 5 24 3的值域是 . 2. 已知函数y = (acos2 3)sin的最小值为3，则实数a的取值范围是 . 3. 双曲线x2 y2= 1的右半支与直线x = 100围成的区域内部（不含边界）整点（纵 横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中a1= 3,1= 1,2= 2,35= 3，且存在常数,使得对每一个正整数n都有an= log，则 + = . 5. 函数f() =
2、2+ 3 2( 0, 1)在区间x 1,1上的最大值为8，则它在 这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜， 否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱ABC A111的 9 条棱长都相等， P是CC1的中点， 二面角B A1 1= ,则sin = . 8. 方程x + y + z = 2010满足x y z的正整数解(x,y,z)的个数是 . 二、解答题（本题满分二、解答题（本题满分 5656 分）分） 9. 9. （1616 分）分）已知函数f() = 3+ 2+ + ( 0)， 当0 x 1时， |()
3、1|， 试求a的最大值. 10.10.（2020 分）分）已知抛物线y2= 6上的两个动点A(1,1)和B(2,2)，其中x1 2且 x1+ 2= 4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值. 11.11.（2020 分）分）证明：方程2x3+ 5 2 = 0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增 正整数数列，使得2 5 = ra1+ 2+ 3+ . 加加 试试 1. （40 分）分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点） ， D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M 求证：若OK MN，则A，B，D，C四点共圆
4、 2. （40 分）分）设k是给定的正整数，r = k + 1 2记f (1)() = () = ,f(l)() = E Q P O N M K D C B A (f(l1)(), 2.证明：存在正整数m，使得f(m)()为一个整数这里，表示不 小于实数x的最小整数，例如：1 2 = 1,1 = 1. 3.（50 分）分）给定整数n 2，设正实数a1,2,满足ak 1, = 1,2, 记 Ak= 1+ 2+ + ,k = 1,2,n. 求证：| =1 =1 | 1 2 4. （50 分）分）一种密码锁的密码设置是在正n边形A12的每个顶点处赋值 0 和 1 两 个数中的一个，同时在每个顶点处涂
5、染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶 点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 2011 年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分） 1设集合A = 1,2,3,4，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B = 1,3,5,8，则集合A = 2函数f() = 2+1 1 的值域为 3设a,b为正实数，1 a + 1 22, ( )2= 4()3,则log = 4如果cos5 sin5 = 7(sin3 cos3), 0,2), 那么的取值范围是 5现安排7名同学去参加 5 个运动项目，要求
6、甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个 项 目都 有人 参加， 每人 只参 加一 个项目 ，则 满足 上述 要求的 不同 安排 方案 数 为 （用数字作答） 6 在四面体ABCD中， 已知ADB = BDC = CDA = 60,AD = BD = 3,CD = 2, 则四面 体ABCD的外接球的半径为 7 直线x 2y 1 = 0与抛物线y2= 4交于A,B两点， C为抛物线上的一点， ACB = 90， 则点C的坐标为 8已知an= 200 (6 3 ) 200 ( 1 2 ) ( = 1,2,95),，则数列中整数项的个数 为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 3 小题，共小题
7、，共 5656 分）分） 9（16 分） 设函数f() = |lg( + 1)|,实数a,b( 0，试比较a+1与an的大小 11 （本小题满分 20 分）作斜率为1 3的直线L与椭圆C: x2 36 + 2 4 = 1交于A,B两点（如图所 示） ，且P(32,2)在直线L的左上方 （1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若APB = 60，求PAB的面积 加 试 1. 1. （4040 分）分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点若BPA = DPA，证明：AQB = CQB 2. 2. （4040 分）分）证明：对任意整数n 4，存在一个n次多项
8、式 f() = + 11+ + 1 + 0 具有如下性质： （1）a0,1,1均为正整数； （2）对任意正整数m，及任意k( 2)个互不相同的正整数r1,2,，均有 f() (1)(2)() y x O P A B 3.3. （5050 分）分） 设a1,2,( 4)是给定的正实数， a1 )的焦点为的焦点为，准线为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足是抛物线上的两个动点，且满足 = 设线段 设线段的中点的中点在在上的投影为上的投影为，则，则| |的最大值是 的最大值是 . . 5 5设同底的两个正三棱锥设同底的两个正三棱锥 和和 内接于同一个球若正三棱锥内接于同一个球若正三棱锥 的侧的侧
9、 面与底面所成的角为面与底面所成的角为，则正三棱锥，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值是的侧面与底面所成角的正切值是 6.6.设设()是定义在是定义在上的奇函数，且当上的奇函数，且当 时，时，() = 若对任意的若对任意的 , + ，不，不 等式等式( + ) ()恒成立，则实数恒成立，则实数的取值范围是的取值范围是_._. 7 7满满足足 ( ) ( + )! 2121 四、 （本题满分四、 （本题满分 5050 分）分） 设设= + + + + ,，是正整数证明：对满足，是正整数证明：对满足 0,使得xn 2, = 1,2, 10.（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中， 椭
10、圆的方程为x 2 2 + 2 2 = 1( 1),A1,2 分别为椭圆的左、右顶点，F1,2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一 点.若平面中有两个点Q,R满足QA1 1,QA2 2,1 1,2 2,试确定线段QR的 长度与b的大小关系，并给出证明。 11.（本题满分 20 分）设函数f() = 2+ ，求所有的正实数对(,)，使得对任意实数x,y yx,均有f() + ( + ) ()(). 2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题年全国高中数学联合竞赛加试试题 一（本题满分 40 分） 如图， AB是圆的一条弦， P为弧AB内一点， E、F为线段AB上两点， 满足AE
11、= EF = FB.连接PE、PF并延长，与圆分别项交于点C、D.求证：EF CD = AC BD (解题时请将图画在答卷纸上) 二（本题满分 40 分）给定正整数u、v.数列的定义如下：a1= + ，对整数m 1, 2= + , 2+1= + . 记Sm= 1+ 2+ + ( = 1,2,).证明：数列中有无穷多项是完全平方数。 三（本题满分 50 分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n 2为给定的整数. 每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得x分，未答对 的学生得 0 分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为 p1
12、2 ，求p1+ 2的最大可能值。 四（本题满分 50 分）设n,k为大于1的整数，n 2k.证明：存在2k个不被n整除的整数，若 将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。 2014 全国高中数学联赛试题全国高中数学联赛试题 一、填空题一、填空题 1、若正数a,b满足2 + log2 = 3 + log3 = log6( + ),则1 a + 1 b的值为_ 2、设集合3 + |1 2中的最大值与最小值分别为M,m, 则M m =_ 3、若函数f() = 2+ | 1|在0,+)上单调递增，则a的取值范围为_ 4、数列满足a1= 2,+1= 2(+2) +1 ( ), 则 a2014 1+2+2013 =_ 5、已知正四棱锥P ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则 异面直线MN与PC之间的距离是_ 6、设椭圆的两个焦点是F1,2， 过点F1的直线与交于点P,Q， 若|PF2| = |12|， 且3|PF1| = 4|1|，则椭圆的短轴与长轴的比值为_ 7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2， 圆心为I。 若点P满足PI = 1， 则ABP与APC的面积 之比的最大值为_ 8、设A,B,C,D是空间
