组合级值--数学奥林匹克小从书

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1、书书书& ! ! !%!&!xyz|$ $ 0/0$ $ 4#?$ 0 $?q$ # A%?a$ ! $&?$ ! 1?$ A #(?$ 2 #)?$ 0! *B!?$ 3 $! !?$ 3 4! ?$ 1 4! #C?$ 4 3!#$0 0 0书书书不等式控制! ! ! !不等式控制组合极值的一个显著特点! 就是其约束条件或所求的极值的函数式较复杂!所谓不等式控制! 就是对约束条件或极值函数进行放缩! 使条件与极值函数之间的联系趋于明显!通过放缩! 使问题接近于一种标准形式 在#!$%!下! 求&%#!$ 的最值! 从而将组合极值化归为一般的极值求解!不等式控制! 通常有两种方式一是对约束条

2、件进行放缩! 使隐蔽的约束条件明显化% 二是对极值函数进行放缩! 使复杂的函数式简单化!例! !设(个互异的正偶数与)个互异的正奇数的和为 # $ %! 求&(*)的最大值!# 第(届) *+试题$分析与解!本题的难点在于约束条件较复杂! 可先利用不等式将其化简! 进而将其放缩到出现目标函数式!设题给的(个正偶数为+!+(!&!+(!)个正奇数为,!,(!&!,)! 则#+*+(*&*+($*#,*,(*&*,)$% # $ % !注意到极值函数是关于()的函数! 而在约束条件中!()仅作为各变量的下标!于是! 应将!中对+!+(! &!+(及,!,(! &!,)的约束转化为对()的约束!因为

3、+!+(!&!+(与,!,(!&!,)是互异的正偶数与正奇数! 所以 # $ %#+*+(*&*+($*#,*,(*&*,)$!#(*,*&*($*#*&*&*()-$%(*)(*(!注意到我们的目标是&(*)$.# 常数$ 的形式! 呈现) - . / 0 1不等式结构! 所以应将的右边配方! 化为( 平方和)!从而 # $ %*#(*#$(*)(! ! #!组合极值 # $ %*#$#&(*($#&(*($(*#$(*)*+(# &(*#$(*#$)(!所以&(*&(*)$2 # $ %*槡! 所以&(*)$ 2 # $ %*槡-&*+(%( ( !下面构造一组数! 使不等式成立等号!先找

4、#(!)$ ! 使&(*)%( ( !此不定方程有多个解! 但为了使#(!)$ 满足! 应使相应的偶数和奇数都尽可能小! 这就要求(与)充分接近!通过试验! 得到(%( %!)%& 2时!&(*)%( ( ! 且(*)(*(% # $ % # $ %! 满足!取最小的( %个正偶数为+%(!+(%!&!+( %2 ! 最小的& 2个正奇数为,%!,(%&!&!,& %, %!,& 2%, #!则#+*+(*&*+( %$*#,*,(*&*,& 2$% # $ %-,!再将,& 2修改为, #*,% 2! 得#+*+(*&*+( %$*#,*,(*&*,& 2$% # $ % !综上所述!&(*

5、)的最大值为( ( !注!本例解题的关键! 是将!式化为式! 而后面利用) - . / 0 1不等式则不是本质的!实际上! 得到式后! 求&(*)的极值也可用三角代换由! 可令/%(*#$(*)槡(!(%-(*/ 3 4!)%/4 5 6!则&(*)%&/ 3 4!*/4 5 6!-&(%2/4 5 6#!*0$-&($2/-&($2 # $ %*槡-&(# 下同$!例 !设#!#(!&!#)&#$!)1% #1%.# 常数$ ! 对给定的正整数2! 求#1*#1(*&*#12的最大值!其中求和对!(!&!)中的所有2元数组#1!1(!&!12$ 进行!分析与解!本题的难点在于目标函数较复杂!

6、 期望利用不等式将其化简!由目标函数的结构特征! 想到将#1*#1(*&*#12化为#1*#1(*&*#12以利用条件)1% #1%.!这恰好符合( 倒数型不等式) +*+(*&*+2#! ! $! !不等式控制2(+*+(*&*+2的特征!于是! 利用( 倒数型不等式) ! 有+*+(*&*+2$+*+(*&*+22(!所以#1*#1(*&*#12$#1*#1(*&*#122(%2(#1*#1(*&*#1#$2!考察上式右边( 和式) 中每个项#13#3%!(!&!2$出现的次数!显然!#13出现一次! 等价于出现一个#!#(!&!#$2的含#13的2组合!因为含有#13的2组合有)2- )

7、- 个! 所以#13在( 和式) 中共出现)2- )- 次! 所以2(#1*#1(*&*#1#$2%2()2- )- )1% #1%.2()2- )- !其中等式在#%#(%&%#)%).时成立!故#1*#1(*&*#12的最大值为.2()2- )- !例% !设4是体积为的正四面体5内# 包括边界$ 的一个点! 过4作个平面平行5的个面! 将5分成 块!#4$ 是那些既不是四面体也不是平行六面体的几何体的体积之和! 求#4$ 的取值范围!# 第& 届7 *+备选题$解!设4到正四面体. 6 7 8的四个面的距离为99(9&9!令#1%91:!:为正四面体的高!则1% #1% !由于5分成的

8、块中! 显然有个体积分别为#&1的四面体!此外! 还有个体积分别为,(3)1 $3$ #3的平行六面体#1%!(!&!$!比如! 以.出发的&条棱为&度方向可得一个平行六面体! 由对称性可作出个平行六面体!于是! ! %!组合极值#4$%-1% #&1-, $1%3%2$ #1#3#2!显然!#4$#! !其次! 不妨设#*#($(8令#*#(%0$(!#(%&#!#&#%;#! 8由1% #1%! 有1% #&1%#0&-&0 &$*#-0$&-&#-0$;! $1%3%2$ #1#3#2%#-0$&*0 ;!所以-#4$%-&0*&0(*&#(-&0$&*&#&0-$;#-&0*&0(*&

9、#&0- $;!#$若&%0$(! 则&0-#!-#4$#-&0*&0(#!其中等式在0%(!&%;%! 即4为棱的中点时成立!#($若!$0$&! 则&0-$! 而;%#&#$#&*#$(%#-0$(!所以-#4$#-&0*&0(*&#&0-$ ,#-0$(%&#&0(*-&0$0*#!所以! 不论哪种情形! 都有!$#4$&!又4为四面体的顶点时!#4$%!%4为四面体的棱的中点时!#4$%&!综上所述!#4$ 的取值范围是!$#4$&!例& !设+!+(!&!+,%,!,(!&!,和!(!&!,都是!(!&! ! &! !不等式控制,的排列! 求,1% +1,11的最小值!#( ! !

10、2年中国国家队选拔考试试题$解!记=%,1% +1,11! 由平均不等式得=#,(,1% +1,1槡1%,#,-$槡&%, ,槡-%槡% (2* , ! !下证=* , !因为+,!+(,(!&!+,这,个数的几何平均为槡 ( 2! 而( ,%槡 (2%( %! 所以+,!+(,(!&!+,中必有一个数不小于( %! 也必有一个数不大于( ,! 而( ,不是!(!&!2!,中某三个# 可以重复$ 的积! 所以必有一个数不大于( 2 !不妨设+,#( %!+(,($( 2! 于是=%#+,槡-+(,(槡($(*(+,+(,(槡(*#+&,&*+,$*#+2,22*+,$#槡 ( %- 槡 ( 2

11、$(*(+,+(,(槡(*(+&,&+,槡*(+2,22+,槡,#槡&-2$(*(,&,(,1% +1,1槡1%#槡&-2$(*槡% (2* , !所以=# , ( !又当+!+(!&!+,%,!,(!&!,和!(!&!22*(*&*,*2,*,(% , (! 所以!=的最小值为 , ( !例 !给定整数)#&! 实数+!+(!&!+)满足9 5 6 $1%3$)?+1-+3? %! 求)2% ?+2?&的最小值!#( ! ! #年中国数学奥林匹克试题$解!不妨设+%+(%&%+)! 则对$2$)! 有?+2? * ?+)-2* ? #?+)-2* -+2?# ?)*-(2?!所以)2% ?+

12、2?&%()2% #?+2?&* ?+)* -2?&$%()2% #?+2? * ?+)* -2?$&#?+2? - ?+)* -2?$(#*! ! !组合极值!#?+2? * ?+)* -2?$(#$)2% #?+2? * ?+)* -2?$&#$)2% ?)*-(2?&!当)为奇数时!)2% ?)*-(2?&%(,(&,)- (1% 1&%#)(-$(%当)为偶数时!)2% ?)*-(2?&%()(1% #(1-$&%(#)3% 3&-)(1% #(1$&$%)(#)(-($!所以! 当)为奇数时!)2% ?+2?&#& (#)(-$(%当)为偶数时!)2% ?+2?&#& ()(#)(-

13、($ ! 等号均在+1%1-)*(!1%!(!&!)时成立!因此!)2% ?+2?&的最小值为& (#)(-$(#)为奇数$ ! 或者& ()(#)(-($#)为偶数$!例( !对正整数! 如果存在整数+,9! 使得$+%,$%9$* #!+ 9%, ! 则称为好数! 否则称为坏数! 试求最大的好数和最小的坏数!#( ! ! ,年国家队选拔考试试题$解!最大的好数是2 % ,! 最小的坏数是 & !为好数的充分必要条件是 存在正整数&;! 使得& ;#!#&*$ ,#;*$* #+$充分性 设&;存在! 不妨设&$;! 则$& ;%&#;*$;#&*$%#&*$ #;*$* #! 取+%& ;

14、!,%&#;*$ !%;#&*$ !9%#&*$ #;*$ 即可#+ 9%, 显然$!必要性 设+,9存在! 由+ 9%, 知+,%9! 设其既约分数形式为&/! 则可设+%& ;!,%/ ;!%& A!9%/ A!由+%,知&%/!/#&*! 由+%知;%A!A#;* !因此& ;%+#!#&*$ #;*$/ A%9$* # ! ! (! !不等式控制现在求最大的好数! 若为好数! 则由#+$ 及柯西不等式! 知*槡 #&*$ #;*槡$# 槡& ;*# 槡*!因此$2 % , !当%2 % ,时! 取&%;%( 即可! 故最大好数为2 % , !下求最小的坏数!首先! 可证 &是坏数!实际

15、上! 假设对% &存在&;! 使得#+$ 成立! 则槡 # (#&*$ #;*槡$# 槡& ;* !于是& ;$#槡 # (-$(% # &-槡( # (% # &-槡( $ % #! 因此 &$& ;$ $ !此外! 当& ;固定时! 熟知&;越接近!&*;越小! #&*$ #;*$%& ;*&*;*也越小!设& ;% &%, &! 则&*;# !#&*$ #;*$#$ $ $%设& ;% % (,& %! 则&*;# #!#&*$ #;*$# # %设& ;% 2%2,$ #! 则&*;# !#&*$ #;*$#2 !%设& ;% ,%(,( ( &! 则&*;#( ( 2!#&*$ #;

16、*$#, % (%设& ;% %&, #! 则&*;# 2 (!#&*$ #;*$#, ! !%设& ;% $% ,( $! 则&*;# !#&*$ #;*$# # & !这些均与 #&*$ #;*$ # (矛盾! 因此 &确为坏数!下证 小于 &的正整数都是好数!当属于下列区间 *( 2!( 2 $+ %*( 2 #!( , 2+ %*( , ,!( % + %*( % 2!( $ !+ %*( $ !( # (+ %*( # &!& ! !+ %*& ! !& + %*& (!& ( (+ %*& ( &!& ( $+ %*& ( #!& & + %*& & 2!& + %*& (!& 2

17、 !+ %*& 2 !& 2 $+ %*& 2 #!& , ,+ %*& , %!& % 2+ %*& % ,!& $ (+ %*& $ &!& $ 2+ %*& $ ,!& # + %*& # (! ! !+ %* ! ! ! ,+ %* ! %! (+ %* &! $+ %* #! ( 2+ %* ( ,! & !+ %* &! & &+ %* & ! & ,+ %* & %! (+ 时! 对应的取#&!;$ 为# &!( !$ %# &!( $ %# !( !$ %# %! %$ %# !( $ %# %! $ %# &!( $ %# $! $ %# !& !$ %# %!( !$ %#

18、 %!( $ %# $!( &$ %#( !( $ %# %!( 2$ %# $!( $ %# !& $ %#( !( ($ %# %!( ,$!最后对$( 2! 设0($%#0*$(! 则$0$ 2 !若0($%0#0*$ ! 则取&%0!;%0*!有& ;#!#&*$ #;*$-$#0*$ #0*($-0(%&0*($ % 若0#0*$%#0*$(! 则取&%;%0*! 有& ;#!#&*$ #;*$-$#0*($(-0#0*$%&0*$ #! 综上所述! 最大好数为2 % ,! 最小坏数为 & ! ! )!组合极值! !习题!设+,+*,-,*-+*+-,+*,*是%个两两不同的质数!

19、且+,中有两个数的和是$ ! ! !设9是这%个质数中最大数与最小数的差! 求9的最大可能值!#( ! ! 年中国数学奥林匹克试题$设()个实数+!+(!&!+()! 满足条件()- 1% #+1* -+1$(%! 求#+)* *+)* (*&*+()$-#+*+(*&*+)$ 的最大值!#( ! ! &年西部数学奥林匹克试题$%设+!+(!&!+)是!(!&!)的一个排列! 求=)% ?+- ? * ?+(-( ? *&* ?+)-)?的最大值!&设#2#2%!(!&! # # $ 满足?#-#(? * ?#(-#&? *&* ?# # # !-# # # ?% # # !令$2%#*#(*

20、&*#22#2%!(!&! # # $!求B%?$-$(? * ?$(-$&? *&* ?$ # # !-$ # # ?的最大值!# 第( 2届全俄数学奥林匹克试题$设#!#(!&!# # # !是!(!&! # # !的一个排列! 求B:,&, ,#;#(, ;#&, ;&, ;# # # !,的最大值!# 第( 届全俄数学奥林匹克试题$(设!%C$+1$D!,1是+1的一个排列#$1$)$ ! 求B%)1% +1,1的最值!# 匈牙利数学奥林匹克试题$累次极值! ! *!# !累次极值组合极值的一个特点是极值函数中变动的量较多! 难于发现函数的变化趋势!如果我们先冻结若干个变量! 即视若干

21、个变量为常数! 则其函数的变化对剩下的变量的依赖关系就趋于明显! 由此可比较容易地求出第一次极值!然后( 解冻) 原来的变量! 进而求出函数的极值!冻结变量一般有两种方法一是冻结一个变量! 它通常用于求三元函数的极值对于三元函数#!$!E$ ! 若固定变量E! 则函数可看成是关于#$的二元函数!在此基础上求出二元函数的极值F#E$ ! 再视E为变量! 对F#E$ 求极值!它的基本思路是&%#!$!E$%#!$F#E$7!但在有的情况下!F#E$ 的表达式是一种分段函数! 则上述思路又可表示为&%#!$!E$%#!$F#E$%F#E$ !#E&.$F(#E$ !#E&6-./$.!#E&.$.(

22、!#E&6-./$0&$9 - .!.(/!特别地! 如果#!$F#E$7中的等式不同时成立! 则固定E的取值时! 须分类处理# 单独讨论E的若干特殊取值$!其基本思路为&%#!$!E$%#!$ #E%E$&2#!$ #E%E2$#!$#E&.-./$F#E%E$&F2#E%E2$F#E$F.#E&.-./$0&$F! 其中F%9 - .F!F(!&!F2!F./!二是冻结多个变量! 它通常用于求多# 超过&$ 元函数的极值在多元函数! !组合极值的解析式中! 选择其中一个字母为主变元! 冻结其他的所有变元! 则函数变为一元函数#0$!至此! 先求出#0$ 的极值点#0!$ ! 再对#0!$

23、冻结变元# 因为#0!$ 是关于其他变元的函数$ ! 又化为一元函数求解!如此下去! 直至求出函数的极值!从实质上看! 累次极值就是放缩法! 只是放缩方式是采用固定变量逐步消元!我们先看一个求一般函数的极值的例子!例! !设#$E为非负实数!#*$*E%! 求B%(#(*$*&E(的最值!解!首先! 采用代入消元! 有$%-#-E! 所以B%(#(*-#-E*&E(!%(#-#$(*&E-#$,(* #( # #( !又B!% (!#$,% #( ! 所以B的最小值为 #( !下面用求累次极值的方法求B的最大值!固定变量E! 则#*$% -E# 常数$!对B%(#(*$*&E(! 因为E为常数

24、! 所以只须求(#(*$%.的最大值!其中#*$%-E!为叙述问题方便! 令-E%0! 则#*$%0!$#!$0$ !0为常数!因为.%(#(*$%(#(*0-# 代入消元$ ! 注意到!$#$0$! 而二次函数的开口向上! 顶点处不是最大值! 所以.只能在#%!或#%0处取最大值!所以!#E$%.9 - %9 - .0!(0(/%0! !$0$#$(!(0(!($0$#$-./!还原成原变量! 有#E$%.9 - %9 - .-E!(#-E$(/%-E!($E$#$!(#-E$(! !$E$#$(-./! !# !累次控制再对#E$ 求最大值!当!$E$(时!B$#E$*&E(%(#-E$(

25、*&E(%2E(-E*($( !当($E$时!B$#E$*&E(%#-E$*&E($& !由此可见! 对一切#$E! 恒有B$&! 其中等式在#%$%!E%时成立!所以B的最大值为& !综上所述!B的最小值为 #( ! 最大值为& !注!本题求B的最大值时! 若对次数与系数进行放缩! 则解答异常简单!实际上!(#(*$*&E($(#*$*&E$&#*&$*&E$& !例 !有 # $ $个单位立方体! 用它们# 全部或一部分$ 拼成高为! 底边长为+,#+%,%$ 的三个正四棱柱.67!现在把.67都摆在第一象限! 使各个底边都平行于坐标轴!7的一个顶点在坐标原点!6在7上! 且6的任何一个单

26、位立方体均在7的某个单位立方体上! 但6的边界不与7的任何边界对齐!同样!.在6上! 且.的任何一个单位立方体均在6的某个单位立方体上! 但.的边界不与6的任何边界对齐!这样得到一个三层楼!问+,取何值时! 能摆出的三层楼的个数最多0# 第 届奥地利1波兰数学竞赛试题$分析与解!由( 边界不对齐) ! 有+$,-($-! 这样!.放在6上有#,-+-$(种放法!6放在7上有#-,-$(种放法!于是! 共有4%#,-+- $(#-,-$(个不同的三层楼!这样! 问题等价于对所有满足$+$,- ($-!+(*,(*($ # $ $的正整数+,! 求4%#,-+-$(#-,-$(的最大值!显然!4$

27、#,-($(#-,-$(! 其中等式在+%时成立!于是! 只须对所有满足&$,$-(!,(*($ # $ %的正整数,! 求G%#,-($ #-,-$ 的最大值!容易想到G$* #,-($*#-,-$ +(%#-&$(!#+$至此! 只须求的取值范围就能得出#-&$(的最大值!由条件! 有($ # $ %-,($ # $ %!$ ! 所以G$# -&$(% ( !G$ ( ! !遗憾的是! 等号不能成立! 只能改求累次极值! #!组合极值固定! 则G%-,(*#*$,*(-(!%-,-*#$(*#*$(*(-(!#+$由二次函数图象可知!G$#*$(*(-(%.#$ 当为奇数时!,#%*$(%

28、 或G$#*$(-*(-(%6#$ 当为偶数时!,%#$(!现在! 再求.#$ 6#$ 的最大值!由,(*($ # $ %! 有$ ! 于是! 当为奇数时!G$.#$.# &$%#* &$(*(-$ ,% ! ! !当为偶数时!G$6#$6# $%#* $(-*(-$ $% ( ! !虽然恒有G$ ( ! 但等号不成立!实际上! 要使式式取等号! 则有% ! 且,%(%( ( !而# !( ($ 不满足,(*($ # $ % !由此可知! 不能统一固定求G%#,-($ #-,-$ 的最大值! 应对的取值分类讨论! 得到不同形式的极值函数!当% 时!G%-,(* 2,-$ , !因为,($ #

29、$ %-(%2 !&$,$%!所以! 当,%时!G取最大值 $ !%当% &时!&$,$ ! 此时!G$( % #! 等式在,% 时成立%当% (时!&$,$ ! 此时!G$& ( ! 等式在,% 时成立%当% 时!&$,$ %! 此时!G$& 2! 等式在,% %时成立%当% !时!&$,$ #! 此时!G$& ! 等式在,% #时成立%当$& #时!G$* #,-($*#-,-$ +(%#-&$($ $(%& ( !由上可知! 恒有G$& 2成立!又当#+!,!$%#! %! $ 时成立等式!故当#+!,!$%#! %! $ 时4取最大值& 2(!例% !给定正整数2及正数+! 又2*2(

30、*&*2/%2#21为正整数!$/$2$ ! 求B%+2*+2(*&*+2/的最大值!# 第$届中国数学奥林匹克试题$分析与解!本题的实质是将2分解为若干个正整数21! 使+2*+2(*&*+2/的值最大!但其分解出的正整数的个数不确定! 因而应分两步走# 求累次最! $!# !累次控制值$!先固定/! 假定2分解为/个正整数21#1%!(!&!/$ ! 求+2*+2(*&*+2/的最大值#/$!然后再解冻变量/! 求#/$ 的最大值!先走第一步!取2%,!/%&! 则2*2(*2&%,!B%+2*+2(*+2&!#$若#2!2(!2&$%#(!(!($ ! 则B%+(*+(*+(%&+(%#

31、($若#2!2(!2&$%#!(!&$ ! 则B(%+*+(*+&%#&$若#2!2(!2&$%#!$ ! 则B&%+*+*+%(+*+!B(-B%+-(+(*+&%+#-(+*+($%+#-+$(#!B&-B(%+*+-+(-+&%+#*+&-+(-+$%+#-+($ #-+$#!所以B&最大!一般地! 不难想到! 当指数2!2(!&!2/尽量集中到某一个指数时!B的值最大!即B的极值点为#!&!2;/= $!我们先证明下面的引理设+*!#!$&)+!则+#*+$+#*$- *+!实际上!+#*$- *+-+#-+$%+*+#- -+ *+$- -+#! !反复利用引理! 得B%+2*+2(

32、*&*+2/$+*+2*2(- *+2&*&*+2/$+*+*+2*2(*2&- (*+2*&*+2/$&$+*+*&*+*+2*2(*&*2/-#/- $%#/-$+*+2-/* !下面再对$/$2! 求#/$%#/-$+*+2-/* 的最大值!令#$%+#- $*+2-#* ! 则因+#- $ +2-#* 都是凸函数! 所以#$是凸函数!于是#/$9 - .#$ !#2$ /%9 - .+2!2 +/!综上所述!B的最大值为9 - ! 且9 - . 6!6 7!7 8/%( ! ! 2!求四边形. 6 7 8的周长的最大值和最小值!#( ! ! 2年中国国家集训队测试题$解!设. 6%+!

33、6 7%,!7 8%! 则+(*,(%. 7(%(*( ! ! 2(! 所以( ! ! 2(-+(%,(-(%#,*$ #,-$ ! 其中+!,!&.!(!&!( ! ! /!不妨设+#,! 先固定+! 令+%( ! ! 2-+! 则#,*$ #,-$%( ! ! 2(-+(%+# ! !-+$!由+(*,(*( ! ! 2(! 得+*( ! ! 2槡 (* ! 所以$+%( ! ! 2- %! %!组合极值2 # !所以! 由!有,*#,*$ #,-槡$%+# ! !-+槡$!当+%时!+%( ! ! !#,*$ #,-( ! 所以!,*#( !+*,*#( ! ! *( %( ( 2*(

34、2 2%当+%(时!+%( ! ! &!#,*$ #,-& , %! 又,*与,-同奇偶! 所以!,* , %!+*,* , %*( 2 2%当+%&时!+%( ! ! (!#,*$ #,- ! ! %! 所以!,*# ! ! %!+*,*#( ! ! (* ! ! %*( 2 2%当+%时!+%( ! ! &!#,*$ #,-( ! ! &! 所以!,*( ! ! &!+*,*( ! ! &*( 2 2%当+%2时!+%( ! ! !#,*$ #,-2($ #! 所以!,*#( ( 2!+*,*#( ! ! !*( ( 2*( 2 2%当+%,时!+% # # #!#,*$ #,- ! !

35、% 2 , 2 ! 所以!,*# 2 ,!+*,*# # # #* 2 ,%( 2 2%当+# %时!因为,*+# ! !-+槡$ !所以+*,*+# ! !-+槡$*( ! ! 2-+! 但%$+%2 # ! 我们可证明+# ! !-+槡$*( ! ! 2-+*( 2 2 !实际上!+# ! !-+槡$*( ! ! 2-+*( 2 2 2+# ! !-+槡$* 2 !*+2-+(* ! !+*+(*& ! !+* 2 !(2+(- $ 2 2+* ( 2 !%!由二次函数性质可知! 此不等式在%$+%2 # 时成立!综上所述! 恒有+*,*#( 2 2! 于是. 6*6 7*7 8*8 .#

36、( 2 2*( ! ! 2% , ! !当. 6% # # #!6 7% 2 2!7 8%时等号成立! 所以四边形. 6 7 8的周长的最小值为 , ! !下面求四边形. 6 7 8的周长的最大值因为+#,!%( ! ! 2! 所以,*%+*( ! ! 2% ! !-+! 所以由!式知+%,-%,*% ! !-+!由于+与,-同奇偶! 所以,-#+*(! 于是,*%+# ! !-+$,-$+# ! !-+$+*(!当,-%+*(时!+*,* % 2 #%, $ 2 #! 所以+*,*$, ! ( - (,#, $ * 2 #$%2 % , % !当,-)+*(时!,-#+*! 从而+*,*%

37、2 ( %! 故上式恒成立!所以!. 6*6 7*7 8*8 .$2 % , %*( ! ! 2% % % (! 当+% # $!,% # & #!% $ $ !时等号成立! 故四边形. 67 8的周长的最大值为% % % ( ! !习题!设#$E为非负实数!#*$*E%+#+#$ ! 求B%(#(*$*&E(的最大值!求一个十进制&位数! 使它与其各位数字之和的比最小!%设#!#(!&!#)是非负实数! 记H%#*#*#(*&*#)$(*#(#*#(*#&*&*#)$(*&*#)#*#)$(的最大值为+)* !问当#!#(!&!#)为何值时!H的值达到最大0并求出+)与+)- 之间的关系及?

38、 5 9)3+)!&设)是给定的整数 #)*$ ! 正整数+,9满足,+*9%!,*9$)! 求,+*9(%&! 所以! 调整后4值增加!由此可知!#1为(或&! 且(的个数不多于( !注意到 # % ,%, 2 $&*(!所以!4的最大值为&, 2 $( !注!若将 # % ,换作 # % 2! 则由 # % 2%, 2 $&*%, 2 %&*(*(! 知4的最大值为&, 2 %(!例 !空间有 # $ #个点! 无&点共线! 将其分成点数互异的& !组!在任何&个不同的组中各取一点! 以这&个点为顶点作三角形!问要使这种三角形的总数最大! 各组的点数应为多少0 # 第届中国数学奥林匹克试题

39、$分析!直觉告诉我们! 各组点数相等时! 三角形总数最大!但仔细阅读题目又发现! 分组要求各组点数互异! 于是想到各组点数应当充分接近!为了强化这一感觉! 可用特例加以印证!先看 !点分为&组的情形!当各组点数分别为(%时! 三角形总数=% ! 简记为=#!(!%$% !类似地!=#!&!,$% $!=#!2$%( !=#(!&!2$%& ! !其中以=#(!&!2$%& !最大!对一般情形! 由上述特例可大胆猜想各组点数)1彼此接近时=最大!所谓各)1彼此接近! 是指任意相邻两个)0)0* 相差尽可能小!显然!)0)0* 至少相差! 但能否对所有)0)0* ! 都有)0* -)0%0对此进行

40、研究! 即可找到解题的途径!解!设各组的点数分别为)%)(%&%)& ! 则三角形的总数为=% $1%3%2$ & !)1)3)2! 其中)*)(*&*)& !% # $ # !由于分组的方法是有限的! 从而=存在最大值!若)!)(!&!)& !使=达到最大值! 不妨设)%)(%&%)& ! 则)!)(!&!)& !具有以下一些性质#$对任何0%!(!&!( #! 都有)0* -)0$( !实际上! 假定存在$0$( #! 使)0* -)0#&# 也可以不妨设)(-)#&$!令)0I%)0*!)0* I%)0* -! 则各组点数仍互异!考察=% $1%3%2$ & !)1)3)2! !%)0)

41、0* ,2)0!0* $2$ & !)2*#)0*)0* $ ,3!2)0!0* $3%2$ & !)3)2*1!3!2)0!0* $1%3%2$ & !)1)3)2!= I%)0I )0* I,2)0!0* $2$ & !)2*#)0I*)0* I$ ,3!2)0!0* $3%2$ & !)3)2*1!3!2)0!0* $1%3%2$ & !)1)3)2!因为)0I*)0* I%)0*)0* ! 而)0I )0* I%)0)0* -)0*)0* -*)0)0* ! 所以! )!组合极值= I*=! 矛盾!所以)0* -)0%或( !#($至少有一个0#$0$( #$ ! 使)0* -)0%(

42、 !实际上! 若对所有0! 都有)0* -)0)(! 而由#$ ! 有)0* -)0$(! 所以)0* -)0%! 即)!)(!&!)& !是& !个连续正整数! 它们的和为 2的倍数!但& !0% )0% # $ #不是 2的倍数! 矛盾!#&$最多有一个0#$0$( #$ ! 使)0* -)0%( !实际上! 若有A0#$A%0$( #$ ! 使)0* -)0%)A* -)A%(! 则令)AI%)A* !)0* I%)0* - !# 最大的减小! 最小的增大$ ! 代换后各组的点数仍互异!考察=% $1%3%2$ & !)1)3)2%)A)0* ,2)A!0* $2$ & !)2*#)A*

43、)0* $ ,3!2)A!0* $3%2$ & !)3)2*1!3!2)0!0* $1%3%2$ & !)1)3)2!= I%)AI )0* I,2)0!0* $2$ & !)2*#)AI*)0* I$ ,3!2)0!0* $3%2$ & !)3)2*1!3!2)0!0* $1%3%2$ & !)1)3)2!因为)AI*)0* I%)A*)0* ! 而)AI )0* I%)A)0* -)A*)0* -*)A)0* ! 所以= I*=! 矛盾!由#($ 和#&$ 可知! 恰有一个0#$0$( #$ ! 使)0* -)0%( !最后证明! 同时满足#$ #($ 和#&$ 的数组)!&!)& !是唯

44、一的!实际上! 不妨设& !个数为)!)*!)*(!&!)*0-!)*0*!)*0*(!&!)*& ! 那么)*#)*$*#)*($*&*#)*0-$*#)*0*$*#)*0*($*&*#)*& !$% # $ # !所以#)*0$*#)*$*#)*($*&*#)*0-$*#)*0*$*#)*0*($*&*#)*& !$% # $ #*0! 即 # $ #*0%& !)*#*(*&*& !$%& !)* 2& 8所以 # % *0%& !)* 2& !& ! ? # % *0!& ! ? ( *0! 但$0$( #!所以0%, !综上所述! 所求的各组的点数为2 !2 (!&!2 ,!2 $!

45、2 #!&!$ !例%!设点4从格点.#!$ 出发! 沿格径以最短的路线运动到点6#(!)$ #()&)+$ ! 即每次运动到另一格点时! 横坐标或纵坐标增加 !求点4经过的所有格点中两坐标乘积之和=的最大值!分析与解!设4经过的点依次为4%.#!$ !4(!&!4(*)- %数学奥林匹克小丛书数学奥林匹克小丛书以专家讲座的形式展开以专家讲座的形式展开由浅入深、夹叙夹议、讲练结合由浅入深、夹叙夹议、讲练结合在知识学习中实现能力培养在知识学习中实现能力培养薄薄的小册子助你透析每一个专题薄薄的小册子助你透析每一个专题从奥委会委员到国家队教练从奥委会委员到国家队教练从大学教授到金牌教练员从大学教授到

46、金牌教练员聚集了国内最顶尖的奥数辅导专家聚集了国内最顶尖的奥数辅导专家为你打造了一套最经典奥数专题辅导丛书为你打造了一套最经典奥数专题辅导丛书数学奥林匹克小丛书（第二版）初中卷数学奥林匹克小丛书（第二版）初中卷初中卷 1单墫 著因式分解技巧 初中卷 2葛军 编著方程与方程组 初中卷 3一次函数与二次函数李惟峰 编著 初中卷 4三角形与四边形沈文选 编著 初中卷 5柯新立 编著圆 初中卷 6冯志刚 著整除、同余与不定方程 初中卷 7周建新 编著组合趣题 初中卷 8冯志刚 顾滨 主编初中数学竞赛中的解题方法与策略 数学奥林匹克小丛书（第二版）数学奥林匹克小丛书（第二版）高中卷高中卷1刘诗雄 编著集

47、合 高中卷2熊斌 朱臻 苏勇 编著函数与函数方程 高中卷3曹瑞彬 周益忠 编著三角函数 高中卷4李胜宏 边红平 编著平均值不等式与柯西不等式 高中卷5苏勇 熊斌 编著不等式的解题方法与技巧 高中卷6冯志刚 著数列与数学归纳法 高中卷7范端喜 邓博文 编著平面几何 高中卷8张思汇 编著复数与向量 高中卷9冷岗松 著几何不等式 高中卷10余红兵 著数论 高中卷11张垚 编著组合数学 高中卷12熊斌 郑仲义 编著图论 高中卷13冯跃峰 编著组合极值 高中卷14熊斌 何忆捷 编著高中数学竞赛中的解题方法与策略 学奥数，这里总有一本适合你学奥数，这里总有一本适合你自从 2000 年奥数教程中首次在图书中

48、使用“奥数”一词以来，华东师范大学出版社已陆续出版近 200 种“奥数”图书, 形成多品种、多册层次全系列。“奥数”入门篇从课本到奥数 （19 年级）、B版“奥数”智优篇优等生数学 （19 年级）“奥数”辅导篇奥数教程 、 学习手册 、 能力测试 （一至高三年级）“奥数”小学顶级篇高思学校竞赛数学课本 、 高思学校竞赛数学导引“奥数”专题篇数学奥林匹克小丛书 （小学、初中、高中共 30 种）“奥数”题库篇多功能题典 数学竞赛 （小学、初中、高中共 3 种）“奥数”高中预赛篇高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） “奥数”联赛冲刺篇高（初）中数学联赛考前辅导“奥数”IMO 终极篇走向IMO：数学奥林匹克试题集锦“奥数”域外篇 日本小学数学奥林匹克 、 全俄中学生数学奥林匹克