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1、安庆师范学院 硕士学位论文 换位子不等式综述 姓名：桂楚 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：周其生 2011-06-03 摘 要 摘 要 本文主要从两个层次水平上研究了算子交换子不等式，即范数水 平和奇异值水平，对其做了系统的综述并得出了一些较好的结论。本 文主要分三部分： 第一部分简要的介绍了相应的研究背景及基本概念； 第二部分和第三部分是本文的中心章节，其中第二部分主要针对部分 算子的交换子包括正算子、自伴算子等的范数不等式并使用一些巧妙 的方法得出了一些关于范数的严格成立的不等式，首先，我们证明了 在通常算子范数下的部分交换子的界的问题，然后再发展到一切酉不 变范数，最后将部
2、分结论推广到了一类函数型交换子不等式；第三部 分是建立在第二部分基础之上， 进一步推进了交换子的奇异值不等式， 首先，介绍了关于正算子的交换子奇异值不等式，然后证明了部分正 规算子的交换子奇异值不等式，最后，将一些奇异值不等式的结论推 广到一类函数型奇异值不等式，得到了一些漂亮的结论。 关键词：关键词：交换子 紧算子 正算子 自伴算子 不等式 范数 奇异值 ABSTRACT In this paper, we studied inequalities of commutators from two levels, which are norm level and singular values
3、 level,and got some good conclusions. This paper has three parts: in the first part, we introduced the relevant research background and basic concepts in briefly; the second part and the third part are the center sections, the second part was about the main norm inequalities of commutators, includin
4、g positive operators and self-adjoint operators, and used some ingenious methods obtained some conclusions about inequalities of the norm which are sharp, firstly, we discussed the problems of some commutators under the usual operator norm, and then developed them for all unitarily invariant norm, f
5、inally, some conclusions were extended to inequalities of commutators on a class of functional; The third part was built on the basis of the second part, and promoted some commutator inequalities to the level of singular values, first we introduced some singular value inequalities of commutator abou
6、t positive operator, then proved the singular value inequalities of normal operator of commutators, and finally, generalized some of the singular value inequalities and got some nice conclusion. 2 KeywordsKeywords: commutator ； compact operator ； positive operator;self-adjoint operator;singular valu
7、e;norm;inequality 42 符 号 表 ( )HB 表示C -代数上复可分Hilbert空间中 全体有界线性算子组成的空间 ( )AK 全体紧算子组成的空间 n M 表示n阶复方阵 K 表示全体复数或实数集 A 算子A的共轭算子 1 A 算子A的逆算子 A 表示AA的平方根 0A 表示算子A为半正定的 0A 表示算子A为正定的 A 表示算子A的通常算子范数 F A 表示算子A的欧氏范数，即 Frobenius 范数 p A 表示算子A的 Schatten-p 范数 A 表示算子A的一切酉不变范数 ( )Asj 表示算子A的第j个奇异值 ( )A 表示算子A的谱集 ( )Aker
8、表示算子A的核空间，即( )Aker= 0:=Axx ( )ARan 表示算子A的秩空间，即( )ARan=Ax 独创性声明独创性声明 本人声明所呈的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 安庆师范学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安庆师范学院有关保留、使用学位
9、论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文件，允许论文被查阅和借阅。本人授权安庆师范学院可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，收录到中国学位论 文全文数据库 ，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学 位论文，向社会公众提供信息服务。 （保密的学位论文在解密后适用本 授权书） 。 学位论文作者签名： 指导教师签名： 签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 电话： 通信地址： 邮编： 2 第一章 绪论及预备知识 1.1 绪论 作为数学学科现代分析方面的重要分支，算子理论具有极为丰 富的内容，并对数学
10、的发展有着十分重要的推动作用。算子理论的 研究起于二十世纪初，在五六十年代达到一个高峰期，此后进入了 一个相对平稳的发展阶段，其研究领域十分广泛，其中算子不等式 的研究是算子理论研究的一个重要课题。本文所探讨换位子便是算 子理论中一个十分重要的课题，具有一定的研究价值。 “换位子”一词出现于两种不同的数学内容中，在环论中它指 的是QPPQ （加法换位子） ，在群论中它指的是 111 QPPQ（乘法换 位子） 。本文主要问题在于讨论 Hillbert 空间中的加法换位子即 QPPQ等的情形。 换位子的研究最早始于二十世纪三十年代，并在二十世纪达到 第一个高潮期，这一时期主要讨论的是自换位子的形式
11、、构造，即 什么样的算子是换位子以及换位子的极限、换位子与恒等算子之间 关系等问题上。例如，著名的 Heisenberg 测不准原理的一个数学表 达方式是： 某一对线性变换P和Q经过适当的规范化后是否适合方程 QPPQ=1，即“1 是换位子吗?”，其代表人物有 Shoda、Wintner、 Wielandt、Thompson 等。二十世纪八十年代以来至今三十年时间又 掀起一轮研究换位子的热潮，这一时期主要集中于研究换位子的界 的问题，本文正是基于这一问题进行讨论。1986 年加拿大数学家 3 C.K.Fong 首先在文献1中提出了自交换子的范数估计问题，随后国 内外众多学者在换位子不等式及其应
12、用方面做了大量深入而卓有成 效的工作。如国外的 T.Ando、R.Bhatia、F.Kittaneh、Koenraod M.R.Audenaert 等，在国内如杜鸿科、詹兴致等，正是由于这些学者 创造性的工作推动者这一课题的不断深入。 换位子不等式的研究在近三十年来，尤其是近十年来进入了一 个高峰期，研究逐渐深入，具有极强的理论价值和应用价值。其主 要研究范围主要表现在以下几个方面：（1） 由有限维向无限维Hillbert 空间发展； （2）由自交换子不等式研究到一般意义上的交换子不等 式研究发展； （3）由换位子的范数不等式发展到更一般水平的奇异 值不等式。本文正是从以上三个方面对前人的研究
13、进行了综述并对 部分结论做了推广。 4 1.2 基本概念及符号基本概念及符号 本节所给出的概念和符号的大部分在本文后面的章节均要用 到，并且使用了一些通用的记号. 我们将主要考虑的问题都是在复可分 Hilbert 空间中。 用( )HB表 示 C -代数上复可分 Hilbert 空间中全体有界线性算子组成的空间， n M表示n阶复方阵， K表示全体复数或实数集. 设A( )HB，我们用 A表示A的共轭算子，且 A( )HB.( )Asj表 示A的第 j 个奇异值，如无特殊说明，本文中A的奇异值均按降序排 列即( )( )( )?AsAsAs n21 . 定义定义 1.2.1： （1）设A( )
14、HB，若 =AAAA,称A为正规算子； （2）若AA= ，则称A为自伴算子（或 Hermite 算子） ； （3）若IAA= ，则称A为酉算子. 定义定义 1.2.2： 设X，Y是 Banach 空间，A：YX 线性， 如果() 1 BA 在Y中是紧集，其中 1 B是X中的单位球，则称A是紧算子；一切紧算 子的集合记作()YXC,，当YX=时记作( )XC. 注 1： 若()YXC,当且仅当对于X中的任意有界集B，( )BA在Y中 是紧集. 注 2： 若A()YXC,当且仅当对任意有界点列 Xxn， n Ax中有 收敛子列. 定义定义 1.2.3：设A( )HB，若 n Cx，有0,xAx，则
15、称A为正 算子，简记为0A. 注 3：在本文中如无特殊说明，我们所说的正算子均指0A的 5 情形. 注 4：在复 Hilbert 空间中，正算子也是自伴算子. 定义定义 1.2.4： 线性空间X上的范数是一个非负值函数： 1 RX满 足： （1）0x（Xx） ，0=x=x（正定性） ； （2）yxyx+（Xyx,） （三角不等式性） ； （3）xx=（K，Xx） （齐次性）. 定义定义 1.2.5：若任意算子A( )HB，对任意的酉算子U，V，都有 AUAV =，则称范数为( )HB上的酉不变范数. 下面我们回忆一下几个特殊的酉不变范数.对任意算子A( )HB， Schatten-p 范数定义如下： 对任意1p， 有( ) p n j p j p AsA 1 1 = = ； 当2=p 时称为 Frobenius 范数记为 F ；当1P且nk 1时称为()kp,-范数， 即 ( ) ( ) p k j p j pk xsA 1 1 , = = ； 当1=pKey k- 范 数 ； 当=p时 ( ) ( )AsAAA
