《微分方程的概念 weifenfangchengdejibengainian》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程的概念 weifenfangchengdejibengainian（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第一节 微分方程的概念,一.实例,例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.,设曲线方程为 y = y(x),则,设运动方程为S=S(t),则,两次积分分别得出:,条件代入:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,二. 概念,1. 微分方程:,含有未知函数的导数或微分的方程.,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例),未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.,本章内容,2. 阶:,未知函数的最高阶导数的阶数.,例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.,n阶方程一
2、般形式:,必须出现,3. 解:,如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解.,如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同,通解,不含任意常数的解,特解,必须独立,n阶方程通解一般形式:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,4. 定解条件:,确定通解中任意常数值的条件.,定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;,定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.,5. 几何意义:,通解,积分曲线族,特解,积分曲线,例:验证 是 的通解,对 用隐函数求导法得:,故 是方程的解,且含有一个任意常数.,通解,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第二节
3、一阶微分方程,本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.,一阶微分方程一般形式:,我们研究其基本形式:,如果可化成:,(1),则(1)称为可分离变量的方程.,解法:,1.分离变量:,2.两边积分:,3.得出通解:,只写一个任意常数,一、可分离变量的方程,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例1:,任意常数,记为C,绝对值号可省略,定解条件代入:,C=2,故特解为:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,二.齐次方程的解法,如果方程(1)可化成:,齐次方程,解法:,令 化成可分离变量方程.,例2:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,三.
4、一阶线性方程微分方程,一般形式:,(2),(3),一阶线性齐次方程,一阶线性非齐次方程,自由项,方程(3)是可分离变量方程,其通解为:,方程(2)的通解,常数变易法,设(2)的通解:,代入方程(2):,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,则方程(2)的通解:,(4),注:,1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;.,2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;,3.,非齐次方程的特解,齐次方程的通解,非齐次方程解的结构,例3:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例4: 求方程 满足初始条件 的特解.,将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:,由 得:,故所求特解为:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,四.伯努利方程,一般形式为:,当 n= 0 或1时,这是线性方程.,当 时,可以化成线性方程:,两端同除以,令,则,关于 z 的线性方程,求出通解后再还原回 y,的方程称为伯努利方程,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例5:,两端同除以,令,代入,通解为,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型,例6:,视 x 为 y 函数,可化成线性方程,通解为:,
