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1、高一数学基础知识讲义主讲：王宇欢迎使用新东方在线电子教材第一讲 集合知识要点一：集合的有关概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。集合中元素的特性：注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。元素与集合的关系：如果是集合的元素，就说属于，记作：如果不是集合的元素，就说不属于，记作：（注意：属于或不属于（）一定是用在表示元素与集合间的关系上）集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号表示）集合的表示：集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一
2、列举出来，并用花括号“”括起来的表示方法。例：描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：（如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作；正整数集记作；整数集记作；有理数集记作；实数集记作。（这些特定集合外面不用加）高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。例题讲解：夯实基础一、判断下列语句是否正确1）大于5的自然数集可以构成一个集合。 正确2）由1，2，3，2，1
3、构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误3）所有的偶数构成的集合是无限集。 正确4）集合则集合和集合是两个不同的集合。 错误二、用符号或填空。1） 2） 3）4）若，则5）若，则三、用适当的方法表示下列集合1）一次函数与的交点组成的集合。 区别是什么？2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。3）大于0的偶数。能力提升1）集合，用列举法表示集合。2）集合中只有一个元素，求的值。3）用描述法可将集合表示成_。知识要点二：集合与集合之间的关系子集一般地，如果集合中的任何元素都是集合中的元素，那么集合叫做集合的子集记作（包含于）或(包含)即：对任意，则。显然，对于任一集合，规定。真子集：如果集合，但存在
4、元素,我们称集合是集合的真子集，记作。集合是任意非空集合的真子集。集合的相等集合如果，同时，则称。严格区分，正确使用“”等符号。前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。集合关系与其特征性质之间的关系一般地，设，如果，则，于是具有性质具有性质，即。反之，如果，则一定是的子集。集合的运算交集一般地，对于两个给定的集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集，记作，读作“交”；如果则。由定义容易知道：并集一般地，对于两个给定的集合，由，两个集合的所有元素构成的集合，叫做的并集，记作，读作“并”；如果则。由定义容易知道补集全集：如果所要研究的集合都是某一给定
5、集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用来表示。补集：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作，读作“在中的补集”。高考要求：理解子集、补集、交集、并集的概念。了解全集的意义，了解包含、相等关系得意义，掌握相关的术语、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。命题趋向：这一讲应该说考查的重点是集合与集合间的关系，近几年高考加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，一般在高考中以客观题形式出现，难度为容易。例题讲解：夯实基础一、用适当的符号填空1） 2） 3） 4）5） 6） 7）二、已知集合，那么的非空真子集有_个。三、求下列
6、四个集合间的关系，并用维恩图表示。四、已知，求。能力提升一、 若集合满足，则的个数有几个？二、 如右图是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） 三、 已知集合，试求实数。四、 已知集合，且，求实数的取值范围。注意：的条件之一就是，这是十分容易遗漏的，另外对的正确理解应是二次方程的根组成的集合。那么应该有三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实根。而无实根就是使得为空集的情况。第二讲 函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念映射：设是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合到集合的映射。记作：。象与原象：
7、给定一个集合到集合的映射，且，如果对应那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。一一映射：设是两个非空集合，是集合到集合的映射，并且对于集合中的任意一个元素，在集合中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合到集合的一一映射。函数：设集合是一个非空数集，对中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数，记作：这里叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。函数的表示方法：解析法、图像法、列表法
8、。区间：定 义名 称符 号闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集可以表示为，“”读作“无穷大”，例如：“”可以表示为，“”可以表示为。高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。例题讲解：夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。1）平方；2）平方；3）求倒数；4）当为奇数时，；当为偶数时，；5）其中；二、已知求。三、求下列函数的定义域。1） 2） 3）四、求函数解析式：1）已知求。 2）已知，求。3）已知是二次函数，且满足求。4）若函数满足方程为常数，且，求。注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：拼
9、凑法；换元法；待定系数法；解析法。注意因题型而选择方法。小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：一次函数、二次函数的定义域是全体实数；函数表达式形式是分式的，分母不为0；函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域；多个限制条件取交集。五、求下列函数的值域1） 2） 3） 4）注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表达式的函数的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新
10、的函数和相关性质，也会对其定义域和值域在进一步探讨。知识要点二：函数性质函数的单调性：定义：一般地，设的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；区间称为单调递增区间。如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数；区间称为单调递减区间。复合函数的单调性：同增异减函数的奇偶性设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫奇函数。（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出）设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，若，则这个函数叫偶函数。从定义我们可以看出，讨论一
11、个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当在其定义域内时，也应在其定义域内有意义。图像特征如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于轴对称。复合函数的奇偶性：同偶异奇。高考要求：掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度，在客观题中主要考查一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在这里也容易拉开学生的档次。例题讲解：夯实基
12、础一、判断下列函数的单调性。1） 2）当3）在（）二、判断下列函数的奇、偶性。1） 奇函数2） 3）既是奇函数，又是偶函数.4） 5）结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。三、已知是奇函数，当时，求当时，得解析式。解：设，则当时，是奇函数，为所求时的解析式。能力提升一、已知函数，若为奇函数，求实数的取值。解：首先考虑定义域，知，由奇函数的定义建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出，易得。二、已知是偶函数，是奇函数，且，试求的表达式。解：令的取得 是偶函数，是奇函数， 两式相加得 两式相减得
13、三、设的定义域是，对于任意都有时，讨论的奇、偶性并加以证明；在上的单调性并加以证明。求在上的最值。解：在定义域任取，且那么令第三讲 基本初等函数知识要点：一次函数与二次函数知识点的回顾一 次 函 数定义域值 域相 关 概 念性 质叫做直线的斜率叫做直线在轴上的截距1），是增函数，是减函数。2）当，一次函数变为正比例函数是奇函数；当，函数既不是奇函数也不是偶函数。（表一）二 次 函 数定义域值 域性 质，图像开口向上，对称轴方程，顶点单调性：在对称轴左侧递减右侧递增。，图像开口向下，对称轴方程，顶点单调性：在对称轴左侧递增右侧递减。（表二）指数与指数函数的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为。 负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0。 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数。次方根的性质：当为奇数时，；当为偶数时， 分指数的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。
