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1、等离子体中碰撞与输运,等离子体物理,研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：,直观分析简正分析能量原理,等离子体平衡与稳定性,磁流体力学平衡,双流不稳定性,等离子体平衡与稳定性,磁流体力学平衡,平衡方程,-Pinch箍缩,一维Grad-Shafranov平衡方程,Z-Pinch箍缩,不稳定性增长率:,等离子体平衡与稳定性,双流不稳定性,一般情况下，等离子体频率p 很大，故只有当u0足够大且波长足够长的时候，不稳定性才有可能发生。,等离子体不稳定性的直接后果是产生反常的输运行为。,什么过程控制着等离子体的输运行为？,6.1 等离子体中的两体碰撞,等离子体,等离子体是多组元（电子、离子和中性粒子）弱相
2、互作用粒子的气体。通常采取气体动力学理论中的惯用的处理方法，在粒子相互作用区域不考虑外场的影响，而在碰撞的间隔部分不考虑粒子相互作用力。因为相互作用半径比自由程小很多。,等离子体中的粒子之间的碰撞特性与等离子体的密度、温度以及电离度的强弱都有关系，等离子体中的碰撞过程极为复杂。由于带电粒子之间的作用库仑相互作用是长程力，在它们之间发生碰撞一般是多体过程，即一个带电粒子同时与多个粒子相互作用。对于低温等离子体，可以认为二体碰撞是主要的，特别是对于弱电离等离子体，其中中性之间、带电粒子与中性粒子之间的二体碰撞占主导地位。而对于高温等离子体，或者强电离等离子体，多体碰撞是主要的，描述这样的过程非常复
3、杂。一般通过近似办法处理，在一定的条件下也是利用二体碰撞及其叠加来处理。所以二体碰撞是研究等离子体输运过程的基础。,6.1.1 二体碰撞,这节我们只讨论碰撞的后果碰撞粒子状态和速度的改变。现在讨论类粒子与 类粒子的碰撞。假设在碰撞过程中不存在外力对粒子的作用。相互作用粒子系统的动量和能量是不改变的。,系统的动量,动量守恒定律,碰撞前后能量守恒,系统的总动能,这里E是碰撞引起的粒子内能的总改变量。,对于弹性碰撞，显然有E=0。对于非弹性碰撞，可分为第一类碰撞 E0 和第二类碰撞E0。原子从基态跃迁到激发态的碰撞是第一类碰撞的例子。伴随逆过程的碰撞是第二类碰撞的例子。,为了更仔细的研究守恒定律，采
4、用质心坐标系统较为方便。质心坐标和速度,由于动量守恒，质心速度在碰撞过程中是一个常数。因而可以采用质心静止的坐标系，即,有,粒子的相对速度,质心系粒子的速度,粒子在实验室坐标系中的速度,总动能,总动能,因此，碰撞粒子的运动完全决定于质心速度 o 和相对速度 。,能量守恒定律可表示为,因为在碰撞过程中质心的速度和动能不变,得到,上式表明，总动能K中只有对应于相对运动能量的那部分才能转换为内能。,显然对于弹性碰撞在弹性碰撞下（E=0），相对速度的大小不会改变，即 。,二体碰撞,动量守恒定律,系统的总动能,内能变化,下面我们讨论碰撞时粒子动量和动能的变化。,6.1.2 二体碰撞过程中动量及能量变化,
5、粒子的动量变化, 在 方向的投影为,在垂直方向上的两个投影为,这里碰撞前后速度矢量 和 之间的夹角称为散射角，而为方位角,因为角仅决定于粒子的相互位置，所以在对碰撞进行统计研究的时候常按作平均。由于,所以：,所以：,从上式看到，动量变化正比于碰撞粒子的相对速度。它对散射角的依赖关系决定于因子,对与慢粒子碰撞的情形，由上式，得碰撞时动量的相对损失,这个比值的最大值取决于质量比：,1、在轻粒子与重粒子碰撞条件下，动量可能相反；,3、在重粒子与轻粒子碰撞条件下，动量的最大损失与质量比有关,2、在质量相近粒子碰撞条件下，动量可能完全损失；,碰撞时粒子在实验室坐标系中的动能变化,粒子的能量变化,如果类粒
6、子的速度分布各向同性 ，则在作了相应的平均之后，括号内第三项将等于零。这时,表征碰撞时能量交换的效率（称为能量传输系数）,表征碰撞时能量交换的效率（称为能量传输系数）,讨论：,考虑一种特殊情况,考虑电子与重粒子（原子或离子）碰撞，且原子能量不大的条件下,电子的速度远远大于重粒子速度，有,因此，在质心系中的碰撞问题变成了电子在静止原子的场中的运动问题。,则电子的动量和能量可以改写,在电子和原子的非弹性碰撞条件下,这意味着，重粒子内能的变化等于电子动能的变化；重粒子的动能不变化。这一结论的精确性到电子和原子的质量比,二体碰撞过程中动量及能量变化,粒子的动量变化,粒子的能量变化,电子与重粒子碰撞,因
7、此，在质心系中的碰撞问题变成了电子在静止原子的场中的运动问题。,6.1.3 碰撞过程中偏转角的表达,两个粒子碰撞，其间能量和动量发生传递，且这个能量和动量的传递都与碰撞过程中的偏转角有关。,可以想见，这个角度一定取决于粒子之间的相互作用。本节将给出偏转角的具体表达形式。考虑弹性碰撞，即碰撞只引起相对速度的改变。,这里已经假设粒子间的相互作用力只依赖于它们的相对坐标。由上式可知，两个粒子的碰撞导致的相对运动，等效于质量为“”的试验粒子在有心场F作用下运动。,这时，两个粒子之间的碰撞引起的相对速度的偏转，可以看成该试验粒子初始由无限远处以速度进入中心力场，在力场的作用下，速度发生变化，以速度飞到无
8、限远处。如图,由于力场的对称性，所以有：,建立极坐标，如图。在有心力场中，粒子的机械能和动量矩守恒,其中：,由,满足方程,所以偏转角的表达式：,这是在一般有心力场中，偏转角和碰撞参数的关系,对于库仑势：,考虑到：,得：,在库仑势作用下，偏转角和碰撞参数的关系,碰撞过程中偏转角的表达,牛顿力学,中心力场,有心力场中偏转角和碰撞参数的关系,对于库仑势：,在库仑势作用下，偏转角和碰撞参数的关系,6.1.3 微分散射截面的定义,微分散射截面是对碰撞的统计描述。,等离子体是由大量做无规则运动的和相互作用着的带电粒子组成，在这样的体系中，粒子之间的碰撞直接决定着对等离子体的宏观特性。而研究这样的影响通常是
9、对大量这样的碰撞过程进行统计平均。所以有必要给出粒子间的碰撞的统计描述。,我们知道一个粒子对一个靶心粒子的散射，其散射角依赖于碰撞参数，即依赖于粒子相对于靶心的运动位置。当大量粒子相对于靶心运动，对于其中的某一个粒子而言，它相对于靶心的位置具有随机性。因此需要研究度粒子对靶心散射特性，即需要给出粒子散射的概率描述。,设有一束试验粒子，相对于靶心的速度为，粒子的密度为n，定义粒子流强度I=n ,它表示单位时间内通过垂直于粒子流方向的单位面积的粒子数。如图，选择柱坐标，设极轴（z轴）与入射粒子的运动方向一致，靶心粒子位于原点A。,单位时间内，流强为I的粒子流被一个类粒子散射后，落入立体角d(=si
10、ndd)的类粒子的数目dN正比于流强和立体角。,具有面积量纲的比例系数表征粒子散射入一定方向的几率。它称为散射微分截面。,按经典力学，散射入立体角d的粒子数等于穿过垂直于入射通量方向的面元的粒子数。如图，能进入立体角的粒子是碰撞参数在b-b+db，方位角d 范围内的粒子，形象地说是那些通过面积元bdbd的入射粒子，散射后被散射到对应的立体角元中，所以,偏转角的表达式：,所以，一般微分散射截面是碰撞参数、散射角和速度的函数,对于库仑势场中的散射：,卢瑟福散射公式,微分散射截面的定义,粒子散射的概率描述,如果已知了与不b之间的关系，可由上式确定微分截面。,对于库仑势场中的散射：,卢瑟福散射公式,6
11、.1.3 碰撞的积分特征量,微分截面,积分后得到散射总截面,类粒子与类粒子碰撞频率（或单位时间的碰撞次数）定义为,按照截面的经典图像，它决定类粒子轰击类粒子组成的靶的次数。事实上，单位时间内这样的轰击数等于速度与碰撞截面积和靶密度的乘积。,如果类粒子和类粒子分别是半径为和的刚性球，则类粒子与类粒子的碰撞频率为,这里散射总截面为,碰撞频率的倒数给出碰撞之间的平均时间,用它还可以确定自由程碰撞之间的距离,对电子和离子与原子的碰撞积分是发散的。但是，即使存在弹性碰撞总截面，也不能把它直接用于研究等离子体粒子运动的动力学，因为对它没有考虑到远、近碰撞影响的差别。,值得注意的是散射总截面,为了描述弹性碰
12、撞对粒子运动的影响，通常引入表征碰撞时动量和能量变化的权重因子,两个粒子碰撞，其间能量和动量发生传递，且这个能量和动量的传递都与碰撞过程中的偏转角有关。,这时，截面表达式为,上式定义的积分截面称为动量传输截面或输运截面。权重因子（1cos）对远碰撞（当 0 时）接近于零，因而对所有类型的电子原子和离子原子相互作用，积分都收敛。可以引进与输运截面相联系的碰撞积分特征量，有效碰撞频率，碰撞之间的时间，自由程：,对于非弹性碰撞，也可以定义碰撞总截面为,这里( j )表示第j类非弹性碰撞。自然，截面表达式的积分在所有情况下都是收敛的。可以 向弹性碰撞那样引进非弹性碰撞的频率、碰撞间隔时间和自由程,微分
13、截面,碰撞的积分特征量,散射总截面,动量传输截面或输运截面,6.2 等离子体中的库仑碰撞、库仑对数,6.2.1 等离子体中的库仑碰撞,带电粒子之间的碰撞与一般二体碰撞显然有很大区别：,1、一个带电粒子作为散射中心，由于德拜屏蔽效应，它对被散射带电粒子的作用范围是在德拜半径范围量级。对于距离大于德拜半径的粒子，可以近似看成没有相互作用。所以碰撞参数的最大值为D。2、散射中心对德拜球内所有带电粒子同时发生作用，因此等离子体中带电粒子相互作用一般是多体相互作用。,但是，一般在研究等离子体中相互作用时，在一定的条件下可以用两体碰撞来近似，而多体碰撞看成时孤立的二体碰撞的叠加。,6.2.2 库仑对数,前
14、面我们已经知道碰撞过程中，粒子动量和能量的损耗：,如果散射中心开始静止，能量损失为,散射角,能量损失为,对于小角度散射，即很小，,在单独碰撞时的能量损耗近似是,如果我们考虑粒子能量的损耗到底有多快，那么我们要加上在基本长度内的所有碰撞中各相关碰撞参数的影响。,碰撞参数db对b的作用相当于撞击目标粒子的次数乘以K,对b积分得到总的能量损耗：,所以,或者,？,我们看到这是一个积分 (b0, b) 由对数限定的问题，因为我们用到的是近似的方程。,我们用很小角度近似K我们假设库仑力是适用的， 但其实等离子区是屏蔽的。,在b=b附近，小角度近似将不成立，只有在这一点将积分截断，忽略 bb 时的作用.,德
15、拜屏蔽理论讲到实际的电位变化是,对于近碰撞：,这里利用了：,近碰撞的碰撞截面为：,远碰撞的碰撞截面为：,对于远碰撞：,碰撞截面,卢瑟福散射公式,对于库仑碰撞：,远碰撞的碰撞截面为：,显然：,根据散射角公式：,注意：,所以远碰撞的碰撞截面近似为：,近碰撞的碰撞截面为：,远碰撞的碰撞截面为：,显然：,换句话说：在等离子体中所发生的碰撞，远碰撞时主要的！,利用远碰撞截面可以获得等离子体中电荷粒子之间的 各种与碰撞有关的参数：,碰撞截面,平均自由程,平均碰撞频率,6.2.3 电阻率,处于电场中的完全电离等离子体，离子将沿着电场方向加速，而电子反方向加速。在电场作用下，电荷粒子的速度不断增加，电流也不断
16、增加。但是由于电子与离子之间的库仑碰撞阻碍进一步加速，经过几次碰撞后，电子和离子运动将趋于平衡。,等离子体电阻率,在平衡时，电流与电场有如下关系：,在磁流体力学一章我们获得电荷粒子运动方程最终形式：,当等离子体达到平衡的时候，如果没有磁场存在，则有,等离子体电阻率,方程1说明正比于(KTe)-3/2。加热等离子体时，库仑截面减小，电阻率随温度升高迅速下降。,在方程1中，可以看到与密度无关。它意味着如果场E加于等离子体，则由E=j可得出电流j与载流子的数目无关。,等离子体电阻率,把有关常数代入上式：,6.3 输运过程的经验定律,处于非平衡态的等离子体，它的部分参量（密度、温度、速度等）通常是不均匀的。由于粒子之间的碰撞，在等离子体中会发生粒子迁移、动量迁移、电荷迁移和能量迁移等过程，这些过程统统称为输运过程或者输运现象。分析输运过程在等离子体研究中占相当重要的地位，通常，严格的输运研究需要从粒子分布函数的玻尔次曼方程出发。但是作为一级近似，可以利用含有相互作用的磁流体方程组来进行研究，实际上，这些磁流体方程组完全可以从玻尔兹曼方程获得。在研究等离子体输运时，大部分情况下，可以把问题看成时定态的，即在方程中没有含时间导数项。研究输运过程的目的是为了获得一系列的输运系数，这些系数表示输运过程的强弱。更重要的是这些输运系数可以从实验中获得。,
