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1、荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学(理)全卷满分150分。考试用时120分钟。【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、函数的应用、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、集合、排列组合、命题、简单的线性规划等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.【题文】一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分 在每小题给出的四个选项中
2、,只有一项是符合题目要求的)【题文】1集合,则A B C D【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】B 解析:因为,所以4,5,6,则选B .【思路点拨】先明确集合A中的元素及集合B中的元素范围,再求交集.【题文】2下列命题中,真命题是 A,使得 B C D是的充分不必要条件【知识点】命题A2【答案】【解析】D 解析:因为,所以A是假命题,当x=时,所以B错误,当x=2时,所以C错误,则只有D正确,所以选D.【思路点拨】判断命题的真假若直接推导不方便时,可利用特例法进行排除判断.【题文】3要得到函数的图象,只需将函数的图象 A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向
3、左平移个单位长度【知识点】三角函数的图象C4【答案】【解析】B 解析:因为,可知用换x即可得到函数y=sin2x的图象,所以向左平移个长度单位,则选B.【思路点拨】由函数解析式判断两个函数的图象的左右平移,只需观察x的变换,结合左加右减进行判断.【题文】4对于函数若,则函数在区间内 A一定有零点 B一定没有零点 C可能有两个零点 D至多有一个零点【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】C 解析:由二次函数的图象可知,若a,b在二次函数的两个零点外侧,则有,所以函数在区间内可能有两个零点,所以选C.【思路点拨】判断二次函数的零点,可结合其图象进行判断.【题文】5设, 对于使成立的所有常数M中,我
4、们把M的最小值1叫做 的上确界. 若,且,则的上确界为 ABCD【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】D 解析:因为,所以,则选D.【思路点拨】由题意可知上确界即为函数的最大值,利用基本不等式求所给式子的最大值即可.【题文】6某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积为A B C D 第6题图【知识点】三视图G2【答案】【解析】A 解析:由三视图可知该几何体为半个圆锥,其底面面积为,侧面面积为,所以其表面积为,则选A.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时,可先通过三视图分析原几何体的特征,再进行求值.【题文】7点是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一
5、点,若目标函数 zxay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是 A B C D第7题图【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B 解析:由题意,最优解应在线段AC上取到,故x+ay=0应与直线AC平行,,,得a=-1,则表示点P(-1,0)与可行域内的点Q(x,y)连线的斜率,由图得,当Q(x,y)=C(4,2)时,取得最大值,最大值是,故选B【思路点拨】由题设条件,目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,知取得最优解必在边界上而不是在顶点上,故目标函数中系数必为负,最小值应在左上方边界AC上取到,即x+ay=0应与直线AC平行,进而计算可得a值,最后结合目标函数的几何意义求出答
6、案即可【题文】8. 在直角坐标平面上,, 且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等,则直线l的斜率为A B C或 D【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】C 解析:设直线l的一个方向向量为,由题意可得,|1+4k|=|-3+k|,解得k=或,故选C【思路点拨】可先结合直线的斜率设出直线的方向向量坐标,再利用向量的投影得到斜率的方程,解答即可.【题文】9对于一个有限数列,的蔡查罗和(蔡查罗是一位数学家)定义为,其中若一个99项的数列(的蔡查罗和为1000,那么100项数列的蔡查罗和为 A991B992C993D999【知识点】数列求和D4【答案】【解析】D 解析:由“蔡查罗和”定义,的“蔡查
7、罗和”为,则100项的数列 “蔡查罗和”为,故选D【思路点拨】理解新定义的含义,结合新定义列出已知和所求,即可得到解答.【题文】10设双曲线的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,且与双曲线在第一象限的交点为,设为坐标原点,若,则双曲线的离心率为 A B C D【知识点】双曲线的性质H6【答案】【解析】A 解析:双曲线的渐近线为:y=x,设焦点F(c,0),则A(c,),B(c,),P(c,),(c,)=(+)c,(),+=1,= ,解得= ,=,又由,得= ,解得e=,所以选A.【思路点拨】可结合向量关系寻求点的坐标关系,得到a,b,c的关系再求离心率即可.【题文】二、填空题(本大
8、题共5小题,每小题5分,共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分)【题文】11已知函数,若,则 【知识点】分段函数B1【答案】【解析】1 解析:因为当x1时,f(x) 3,所以若,则,解得x=1.【思路点拨】可先分析分段函数当x1时的函数值的取值范围,再由所给函数值求自变量的值.【题文】12由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为 【知识点】直线与圆的位置关系H4【答案】【解析】 解析:若切线长最小,则直线上的点到圆心的距离最小,而直线上的点到圆心的距离最小值即为圆心到直线的距离为,此时的切线长为.【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题,通常转化为与圆
9、心的关系进行解答.【题文】13若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值,则实数的取值范围 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】 解析:因为,由x0可知函数的极值点只有x=,若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值,则,解得,所以实数a的范围是.【思路点拨】因为所给函数已知,则可先求出函数的极值点,再结合函数的定义域及极值点得到关于a满足的条件求解即可.【题文】14在弹性限度内,拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比如果的力能使弹簧伸长,则把弹簧从平衡位置拉长(在弹性限度内)时所做的功为 (单位:焦耳).【知识点】定积分B13【答案】【解析】1.6 解析:由F=kl可知20N的力能使弹簧伸
10、长4cm,若使弹簧伸长8cm,由公式可求伸长到8cm时需40N的力,由定积分可知有关力与距离的函数F=kl图像中函数与x轴在(0,8)围成的面积即为力做的功 .【思路点拨】由力与伸长距离的函数关系求得所需的力,再由定积分求得力所做的功.【题文】15已知:对于给定的及映射,若集合,且中所有元素在B中对应的元素之和大于或等于,则称为集合的好子集对于,映射,那么集合的所有好子集的个数为 ;对于给定的,映射的对应关系如下表:123456f(x)11111yz若当且仅当中含有和至少中3个整数或者中至少含有中5个整数时,为集合的好子集,则所有满足条件的数组为 【知识点】映射 排列组合的应用B11 J2【答
11、案】【解析】5;(5,1,2) 解析:因为A中的每个元素对应的B中的元素都是1,所以所A的子集所有元素之和大于等于3,则子集的元素个数最少为3个,所以集合的所有好子集的个数为 ;由当且仅当C中含有和至少A中3个整数时C为A的好子集,知:z+1+1+1大于等于q且z+1+1+y大于等于q,(1)同时,z+1+1小于q且z+y+1小于q,(2),又B包含于正整数集所以y大于等于1,(3),由上(1)(2)(3)知y=1,C中至少含有A中5个整数时,得出5大于等于q,且4小于q所以q=5,将q=5代入(1)式,得:z大于等于2 且z小于3,z=2,综上(q,y,z)=(5,1,2)【思路点拨】本题主
12、要考查的是映射、排列组合的综合应用,注意分类讨论思想的运用.【题文】三、解答题(本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【题文】16(本小题满分12分) 已知向量,设函数()求在区间上的零点;()在中,角的对边分别是,且满足,求的取值范围【知识点】向量的数量积 解三角形C8 F3【答案】【解析】()和;()(1,0 解析:因为,函数所以 2分 4分()由,得,或,或 6分又,或所以在区间上的零点是和 8分()在中,所以由且,得从而 10分, 12分【思路点拨】一般研究三角函数的性质时,通常先化简成一个角的三角函数再进行解答.【题文】17(本小题满分12分) 已知等比数列
13、满足:,且是的等差中项.()求数列的通项公式;()若数列an是单调递增的,令,求使成立的正整数的最小值【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】()或;()5 解析:()设等比数列的首项为,公比为依题意,有,代入,可得,2分,解之得 或 4分当时, ; 当时, 数列的通项公式为或6分()等比数列an是单调递增的, 8分 由,得10分即,即易知:当时,当时,故使成立的正整数的最小值为5.12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答,对于数列求和可先明确数列的通项公式,在结合通项公式特征确定求和思路.【题文】18(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,, 点是的中点,且交于点()求证:平面;()求证:平面平面;()求二面角的余弦值第18题图【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11【答案】【解析】()略;()略;() 解析:方法一:()证明:连结交于,连结 是正方形,