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1、第一次月考数学理试题【湖北版】一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1A1i B1i C1i D1i2已知集合A1,a,B1,2,3,则“a3”是“AB”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数3,3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A0.4x2.3 B2x2.4 C2x9.5 D0.3x4.44已知向量a,b的夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|A B2 C3 D45若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为AB5CD46在
2、ABC中,AC,BC2,B60,则BC边上的高等于A B C D7x,y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A或1 B2或 C2或1 D2或18如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan,若a11,a22,则a9A B C5 D29已知F为抛物线y2x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,2(其中O为坐标原点),则AFO与BFO面积之和的最小值是A B C D10已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点,
3、则a的取值范围是A(,) B(,) C(,) D(,)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,模棱两可均不得分11设二项式()5的展开式中常数项为A,则A 12如果执行如图所示的程序框图,输入x1,n3,则输出的数S 13正方形的四个顶点A(1,1),B(1,1),C(1,1),D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上,如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是 14已知椭圆C:1,点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|BN| 15平面几何中有如下
4、结论:如图1,设O是等腰RtABC底边BC的中点,AB1,过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q,R,则有2类比此结论,将其拓展到空间有:如图2,设O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心,AB,AC,AD两两垂直,AB1,过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q,R,P,则有 三、解答题:本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本小题满分12分)已知函数f(x)cosx(sinxcosx)()若sin(),且0,求f()的值;()当f(x)取得最小值时,求自变量x的集合17(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,a11,an0,ana
5、n1Sn1,其中为常数()证明:an2an;()当为何值时,数列an为等差数列?并说明理由18(本小题满分12分)如图,在三棱锥P-ABQ中,PB平面ABQ,BABPBQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连结GH()求证:ABGH;()求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值19(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: ()设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;()若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季
6、中至少有2季的利润不少于2000元的概率20(本小题满分13分)如图,动点M与两定点A(1,0),B(2,0)构成MAB,且MBA2MAB设动点M的轨迹为C()求轨迹C的方程;()设直线y2xm(其中m2)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|PR|,求的取值范围21(本小题满分14分)已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3()求实数a的值;()若f(x)kx2对任意x0成立,求实数k的取值范围;()当nm1(m,nN*)时,证明:参考答案一、选择题1B 2A 3A 4C 5D6B 7D 8C 9B 10B二、填空题1110 124 1
7、3 148 153三、解答题16(本小题满分12分)解:()0, 2分sin(),即 4分f()cos(sincos)cos(sincos)6分()f(x)sinxcosxcos2xsin2x 7分sin2xcos2xsin(2x) 8分当2x2k,kZ,即xk,kZ时,f(x)取得最小值, 10分此时自变量x的集合为x|xk,kZ12分17(本小题满分12分)解:()由题设,anan1Sn1,an1an2Sn11 2分两式相减,得an1(an2an)an1 3分由于an10,所以an2an4分()由题设,a11,a1a2S11,可得a21 5分由()知,a31令2a2a1a3,解得4 6分故
8、an2an4,由此可得a2n1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n14n3;7分a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n4n18分所以an2n1,an1an2 10分因此当4时,数列an为等差数列12分18(本小题满分12分)解:()D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,1分EFAB,DCAB, 2分EFDC又EF 平面PCD,DC平面PCD, EF平面PCD 3分又EF 平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH,4分EFGH又EFAB,ABGH6分()在ABQ中,AQ2BD,ADDQ,ABQ90,即ABBQ又PB平面ABQ,BA,BQ,BP两两垂直以B为坐标原点,分别以BA,B
9、Q,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系设BABQBP2,则B(0,0,0),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),(注:坐标写对给2分)(1,1,2),(0,1,2)8分设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z),由n0,n0,得取z1,得n(0,2,1)10分又(0,2,0)为平面PAB的一个法向量,cosn,故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为12分19(本小题满分12分)解:()设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)0.5,P(B)0.4(注:基本事件叙述各1分)2分利
10、润产量市场价格成本,X所有可能的取值为5001010004000,500610002000,3001010002000,30061000800 4分P(X4000)P()P()(10.5)(10.4)0.3,P(X2000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5,P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2X的分布列为X40002000800P0.30.50.26分(注:每个概率1分)()设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i1,2,3),8分由题意知C1,C2,C3相互独立,由()知,P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1,2,3)这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为PC0.83C0.820.20.5120.3840.89612分20(本小题满分13分)解:()设M的坐标为(x,y),显然有x0,且y01分当MBA90时,点M的坐标为(2,3)2分当MBA90时,x2,由MBA2MAB,有tanMBA,即,4分化简可得,3x2y230而点(2,3)在曲线3x2y230上,5分综上可知,轨迹C的方程为x21(x1)6分()由消去y并整理,得x24mxm230(*)7分由题意,方程(*)有两根且均在(1,)内设f(x)x24