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1、1,第 三 章 量子力学中的力学量,The Dynamical variable in Quantum Mechanism,算符：operator,2,对一函数作用得到另一函数的运算符号,Ex.,（1）一般算符的定义,称为算符,(2）算符的本征方程,算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以,即,此称为算符 的本征方程,3-2 算符的本征值和本征函数,3,称为其本征值， 为其本征函数。,当算符 的某一个本征值 对应不只是一个本征函数 ，而是f 个线性无关的本征函数：则称该本征值 有f 度简并（degenerate） ：,求解这个本征方程一般有一组本征函数和本征值，分别称为本征函数系和本征值谱：,满
2、足,4,4,例,5,5,6,6,(3）力学量算符,表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。,哈密顿算符,动量算符,坐标算符,例如当波函数为 时,7,角动量算符,将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广，便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。,若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。,3.1 表示力学量的算符（续10）,力学量算符规则即构造力学量算符的规则：,8,*（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标变量 换成坐标算符,（2）对
3、于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，如同位旋、奇异数等,其算符如何构造的问题另外讨论。,3.1 表示力学量的算符（续11）,注,9,其中,3.1 表示力学量的算符（续12）,10,定义,2. 线性算符：态的叠加原理要求力学量的算符必须是线性算符,1. 算符相等： 当算符 和 分别作用在任意函 数 u 上，如果总有：,则称算符 和 相等，表示为,3.3-1算符的运算规则,核心：算符 矩阵,11,例,12,平方算符不是线性算符,13,13,3.算符之和,加法交换律加法结合律,一般数加法运算律的交换律和结合律 交换律：a+b=b+a 结合律：a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+b,
4、14,4.算符之积：不可交换性,（a+b） c=ac+bc,一般数乘法分配律,乘法分配律乘法结合律,(ab)c=a(bc)、(ab)c=a(bc),乘法结合律,15,算符的不可交换性,不对易性：,16,算符的运算规则,引入对易式(commutator):,17,量子力学中最基本的 对易关系。,若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,18,算符对易子的运算规则,19,5.算符之幂,6.单位算符,7.算符之逆,20,结论：体系的一个量子态希尔伯特空间中一个向量给
5、定一组基矢，即给定一个表象，量子态波函数一个算符一个矩阵,算符的运算规则结论,21,(4）力学量算符与力学量测量值的关系,在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设.,如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。,该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系,3.1 表示力学量的算符（续13）,
