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1、 12实验 三 最小二乘法及数据拟合建模的回归分析 一、实验目的 : 1掌握用最小二乘建立回归数学模型。 2学习通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，通过回归分析来判断模型建立是否正确。 3应用建立的模型进行预测。 二、基本原理和方法 1建立回归数学模型 在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。拟合的目的是寻找给定的曲线（直线） ，它在某种准则下最佳地拟合数据。最佳拟合要在什么准则下的最佳？以及用什么样的曲线模型去拟合。 常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。 本
2、实验在 Matlab 平台上，以多项式最小二乘拟合为例，掌握回归模型的建立（包括参数估计和模型建立）和用模型进行预测的方法，并学习回归分析的基本方法。 2在MATLAB里，用于求解最小二乘多项式拟合问题的函数如下： polyfit 最小二乘拟合 p=polyfit(x,y,n) 对输入数据y的n阶最小二乘拟合多项式p(x)的系数 Y=polyval(p,x) 求多项式的函数值Y )1n(px)n(px)2(px)1(pY1nn+=L 13以下是一个多项式拟合的例子。 已知 x=0,0.1,0.2,0.3,.,0.9,1 共11个点（自变量）， 实测数据y=-0.447, 1.978, 3.28
3、, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2 求：2阶的预测方程，并用8阶的预测方程与之比较。 x=linspace(0,1,11); y=-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; p=polyfit(x,y,2) %求2阶的预测方程 2210xbxbby += 的系数 p= b2 b1b0z=polyval(p,x); %求预测的y值 （z表示 y)） p2=polyfit(x,y,8) %求8阶的预测方程 z1=polyval(p2,x); plot(x,y,om,
4、x,z,:*rx,z1, :+b) 图中：”0” 代表散点图 “+”代表8阶预测方程 “*”代表2阶预测方程 图1 散点图与2阶预测方程 143回归模型的检验 回归模型的检验是判断数据拟合的好坏即模型建立的正确与否，为建立模型和应用模型提供支持。 在MATLAB平台，用于回归检验的语句如下： b,bint,r,rint,stats=regress(y，X， ) 其中，01122 mmyxx xe=+ + + + +L )m,2,1,0i(iL= 为回归系数 e 随机误差（均值为0，方差2 ） b：回归系数的估计值 b = bint：回归系数的置信区间 r：残差 yyr)= rint：残差的置信
5、区间 stats：统计量 R2F P 用此语句，可以得到回归系数，复相关系数R，方差检验F值，P。 rcoplot(r,rint) %打印残差分布图 在图中，若残差的置信区间不包含零点，则视为异常点，将其剔除后重新计算。 b=leastsq(函数名,b0) % 非线性最小二乘法拟合， b0为初始值 s=sqrt(sum(函数名 .* 函数名 )./（n-2） %计算剩余标准差 15s=sqrt(sum(y-Y).2)./(n-2) %计算剩余标准差 4预测值： 用经过检验的数学模型即可预测数据。即把x代入回归方程对y进行估计，该估计值为 y 。 以下用一个例子说明回归模型的检验与预测： 有人研
6、究了黏虫孵化历期平均温度（x,oC）与历期天数（y,天）之间关系，试验资料列入下表，求直线回归方程，并进行检验。 x,历期平均温度oC 11.8 14.7 15.6 16.8 17.1 18.8 19.5 20.4 Y，孵化历期（天） 30.1 17.3 16.7 13.6 11.9 10.7 8.3 6.7 先作出(xi,yi)的散点图 x=11.8 14.7 15.6 16.8 17.1 18.8 19.5 20.4; y=30.1 17.3 16.7 13.6 11.9 10.7 8.3 6.7 plot(x,y,r+) 图2 历期平均温度（x,oC）与历期天数（y,天）的散点图 16从
7、图中可见y与x基本，因此用一元线性回归。 X=ones(8,1),x; b,bint,r,rint,stats=regress(y,X)； b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 运行结果： b = 57.0393 -2.5317 bint = 45.9035 68.1750 -3.1851 -1.8782 stats = 0.9374 89.8675 0.0001 得到以下结果： 复相关系数的平方 R2=0.9374, 则R=0.96820.8, F=89.8675 存在极显著的直线回归关系。 p10-4,因此此回归模型y接受。 预测历期平均温度为21.05oC时，孵化历期
8、天数为多少天？ 7470.305.21)5317.2(0393.57bxay =+=+=)（天） 图三 残差分布图 （全部观测点） 17观察图中的残差分布，除第一点外，其余残差的置信区间均包含零点，第一个点应视为异常点，将其剔除后重新计算，可得： b = 45.2899 -1.8863 bint = 38.5660 52.0138 -2.2670 -1.5057 stats = 0.9701 162.2546 0.0001 图三 残差分布图 （除掉第一个异常点观测点） 观察图中的残差分布，残差的置信区间均包含零点，置信区间明显缩小，R与F明显增大。重新预测预测历期平均温度为21.05oC时，孵
9、化历期天数 5832.505.21)8863.1(2899.45bxay =+=+=)显然，此估计值应更加符合真实数据。 18三、实验内容： 1用给定的多项式 3x5x6xy23+= 产生一组数据)n,2,1i,y,x(iiL= ，再在 yi上添加随机干扰，然后用ix 和添加了随机干扰的 yi作3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2次或4次多项式拟合，结果如何？ x为0,1区间上的数据点2给定数据（xi,yi）见下表画出散点图观察二者的关系，试建立合适的线性化回归模型：1/y=b0+b1/x.并作回归分析。xi2 3 4 5 7 8 10 yi106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 xi11 14 15 15 18 19 yi110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20
