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1、2014超越辅导求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式分析： 本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法如果抛物线yax2bxc与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)那么显然有x1、x2是一元二次方程ax2bxc=0的两个根因此，有ax2+bxc=a(x-x1)(x-x2)抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式对于本例利用两根式来解则更为方便解： 抛物线
2、与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)设抛物线的解析式为ya(x1)(x-1)又抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1函数解析式为y=-x21说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：三项条件确定二次函数；求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定例2 由右边图象写出二次函数的解析式分析：看图时要注意特殊点例如顶点，图象与坐标轴的交点解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)设解析式为y=a(x1)2+2过原点(0，0)，a2=0，a=-2故解析式
3、为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x说明：已知顶点坐标可以设顶点式本题也可设成一般式y=ax2+bxc，过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)x再将顶点坐标(1，2)代入求出a例3 根据下列条件求二次函数解析式(1)若函数有最小值-8，且abc=12(-3)(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)(3)若函数当x-2时y随x增大而增大(x-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2分析：(1)由abc=12(-3)可将三个待定系数转化为求一个k即设a=k，b=2k，c=-3k
4、(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2解：(1)设y=ax2bx+c abc=12(-3)设a=k，b=2k，c=-3k 有最小值-8解析式y=2x2+4x-6(2)图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1又函数有最大值2，顶点坐标为(1，2)，设解析式为y=a(x-1)22(3)函数当x-2时y随x增大而增大，当x-2时y随x增大而减小对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2bxc，得：题(2)充分利用对称性可简化计算例4 已知
5、抛物线y=ax2bxc与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法解法(一)：抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，顶点的坐标为M(-1，2)或M(-1，-2)故设二次函数式y=a(x1)22或y=a(x+1)2-2又抛物线经过点A(-3，
6、0)0=a(-31)22或0=a(-31)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2bxc点A(-3，0)在抛物线上0=9a-3bc 又对称轴是x=-1顶点M到x轴的距离为2解由，组成的方程组：所求函数的解析式是：解法(三)：抛物线的对称轴是x=-1又图象经过点A(-3，0)点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A(1，0)设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-13)(-1-1)或-2=a(-13)(-1-1)解关于a的方程，得所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法
7、(三)比解法(二)简便M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解例5 已知抛物线y=x2-6xm与x轴有两个不同的交点A和B，以AB为直径作C，(1)求圆心C的坐标(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断解：(1)y=x2-6xm=(x-3)2+m-9抛物线的对称轴为直线x=3抛物线
8、与x轴交于A和B两点，且AB是C的直径，由抛物线的对称性圆心C的坐标为(3，0)(2)抛物线与x轴有两个不同交点=(-b)2-4m0，m9设A(x1，0)，B(x2，0)抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9m9，m=9舍去m8当m=8时，抛物线的顶点在C上说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式解答这类问题的基本思路是：假设“存在”演绎推理得出结论(合理或矛盾)例6 已知抛物线y=ax2bxc，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)又知方程：ax2bxc0(a0)两根平方和等于40(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点
9、P，在x轴上方且使SPAB=2SCAB如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在解：(1)由题设条件得抛物线顶点为(2，4)又A点坐标为(-2，0)，而ABC与PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，PAB面积最大显然，SPAB=162SABC=212=24故在x轴上方的抛物线上不存在点P使SPAB=2SCAB例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于
10、多长时，矩形铁板的面积最大分析： 问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH解： 设内接矩形EFGH中，AMBC，EHBC，设EF=x(0xh)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值例8 二次函数y=ax2bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离分析：为直线x=3，来求系数a，b注意根
11、与系数关系定理的充分应用为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理解： (1)如图，由已知，有(x1+x2)2-2x1x2=26，a=-1解析式为y=-x26x-5=-(x-3)24(2)OB=5，OC=4，AC=3，AOB为等腰三角形，作ODAB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式有不少学生没有发现AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图
12、形与数量关系，其实AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2xk与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当MAB为等腰直角三角形时，求k的值分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍解：抛物线与x轴有两个相异交点，故0，即(-2)2-4(-3)k0，解关于
13、k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N为AB中点AMBRt，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得k0说明： 本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x轴有两个相异交点，应首先满足0(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润
