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1、第四章 量子力学中的力学量本块内容广博，务必以自学为主。自我教育，修炼成材，系大学教育目标之一。,1 算符的运算规则 2 动量算符和角动量算符 3 电子在库仑场中的运动 4 氢原子 5 厄密算符的本征值与本征函数 6 算符与力学量的关系 7 共同本征函数 8 测不准关系,本块内容重点在于了解如何应用薛定谔方程求解氢原子能级（了解其数学步骤，重点在于思想）。其余关于“力学量的算符表示”内容比较广博，建议先阅读所发讲义“曾谨言量子力学教程第三章”，再对本ppt内容做一般性理解即可。 “力学量的算符表示”中所包含的方法思路虽然为量子力学所有，但并非为其独有。实际上早在量子力学诞生之前，这一套数学方法
2、已经有，这说明其在其它学科中也有应用价值。学习它，对于提高数学修养，无疑帮助巨大。,（一）算符定义 （二）算符的一般特性说明：4-力学量的算符表示与氢原子.ppt将主要讲解“用薛定谔方程处理氢原子”部分，其余部分（力学量的算符表示与算符的各种特性），需要依靠学生自学。事实上，因为这部分内容牵涉数学推理，也比较难，不过不超越浙大学生智商所能，非常适合学生自学，但考试不会为难大家。,1 算符的运算规则,代表对波函数进行某种运算或变换的符号, u = v 表示 把函数 u 变成 v， 就是这种变 换的算符。算符上的帽子，表示它的算符身份，但有时也可以省去。,1）du / dx = v ， d / d
3、x 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。,2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,（一）算符定义,（7）逆算符（8）算符函数（9）复共轭算符（10）转置算符（11）厄密共轭算符（12）厄密算符,（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）对易关系（6）对易括号,（二）算符的一般特性（基本知识，请自学）,（1）线性算符,(c11+c22)= c11+c22其中c1, c2是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数
4、。,满足如下运算规律的 算符 称为线性算符,（2）算符相等,若两个算符 、对体系的任何波函数 的运算结果都相 同，即= ，则算符 和算符 相等记为 = 。,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,（3）算符之和,若两个算符 、 对体系的任何波函数 有： ( + ) = + = 则 + = 称为算符之和。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,例如：体系Hamilton 算符,注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - = + （-）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。,（4）算符之积,若 ( ) = () = 则 =
5、 其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足 交换律，即 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。,（5）对易关系,若 ，则称 与 不对易。,显然二者结果不相等，所以:,对易关系,量子力学中最基本的 对易关系。,若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,（6）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： , - ,这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , =
6、 - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。,返回,（7）逆算符,1. 定义: 设= , 能够唯一的解出 , 则可定义 算符 之逆 -1 为: -1 = ,并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.,2.性质 I: 若算符 之逆 -1 存在,则 -1 = -1 = I , , -1 = 0 证: = -1 = -1 ( ) = -1 因为是任意函数,所以-1 = I成立. 同理, -1 = I 亦成立.,3.性质 II: 若 , 均存在逆算符, 则 ( )-1 = -1 -1,例如:,
7、设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 F()为:,（9）复共轭算符,算符的复共轭算符 *就是把表达式中 的所有量换成复共轭.,例如: 坐标表象中,（8）算符函数,利用波函数标准条件: 当|x| 时, 0。,由于、是 任意波函数, 所以,同理可证:,（10）转置算符,(11)厄密共轭算符,由此可得：:,转置算符 的定义,厄密共轭 算符亦可 写成：,算符 之厄密共轭算符 + 定义:,可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +,(12) 厄密算符,1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.,2. 性质,性质 I: 两个厄密
8、算符之和仍是厄密算符。 即 若 + = , + = 则 (+)+ = + + + = (+),性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 ( )+ = + + = 仅当 , = 0 成立时, ( )+ = 才成立。,返回,（一）动量算符 （1）动量算符的厄密性 （2）动量本征方程 （3）箱归一化（二）角动量算符 （1）角动量算符的形式 （2）角动量本征方程 （3）角动量算符的对易关系 （4）角动量升降阶算符,2 动量算符和角动量算符（其中角动量算符，请自学）,（一）动量算符,（1）动量算符的厄密性,使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。,（2）动量本征方程,其
9、分量形式：,证：,由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。,I. 求解,这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。,如果取 |c|2 (2)3=1则 p(r) 就可 归一化为 -函数。,于是：,II. 归一化系数的确定,采用分离变量法，令：,（3）箱归一化,在箱子边界的对应点A, A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。,但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,这表明，px 只能取分立
10、值。 换言之， 加上周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。,这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定：,讨论：,（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：,（2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L 时，本征值变成为连续谱。,（3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为 函数,（4）p(r) expiEt/ 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,（5）
11、周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。,（二）角动量算符（自学）,（1）角动量算符的形式,根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:,(I) 直角坐标系,角动量平方算符,经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是：,由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.,直角坐标与球坐标之间的变换关系,这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ),(II) 球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分
12、别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,（2）本征方程,(I) Lz的本征方程,求 归 一 化 系 数,正交性：,I。波函数有限条件，要求 z 为实数； II。波函数单值条件，要求当 转过 2角回到原位时波函数值相等，即：,合记之得 正交归一化 条件：,最后得 Lz 的本征函数 和本征值：,讨论：,厄密性要求第一项为零,所 以,则,这正是周期性边界条件,(II) L2的本征值问题,L2 的本征值方程可写
13、为：,为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, )内都是有限的， 则必须满足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, .,该方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式：,归一化系数，由归一化条件确定,其正交归一 条件为：,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。,(III) 本征值的简并度,由于量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,可知，对应一个 值，m 取值为 0, 1, 2, 3, ., 共 (2 +1)个值。因此当 确定后，尚有(2 +1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。,根据球函数定义式,（3）角动量算符的对易关系,证：,（4）角动量升降阶算符,(I) 定义,显 然 有 如 下 性 质,所以，这两个算符 不是厄密算符。,(II) 对易关系,不 难 证 明,可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和 l (l+1) 2。,(III) 证明：,证：,将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：,将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：,由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即,
