《数学建模简明教程袁震东蒋鲁敏束金龙编著》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模简明教程袁震东蒋鲁敏束金龙编著（164页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 引论一、 数学建模的内涵和外延在现实生活中，“模型”这个名词并不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、“生物模型”等。“原型”和“模型”是一对对偶体。原型：是指人们在现实世界里研究或从事生产、管理的实际对象。模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。需要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问题，我们看下面的例子。例1 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需要30小时，从乙地到甲
2、地逆水需要50小时，问船速、水速各为多少？分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假设之下，我们可以得出问题的解。求解：设水的流速为，船的行驶速度为，则当船只顺水航行时，有，当船只逆水航行时，有，即有方程组 上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。数学模型的一般意义：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据其特有的内在规律，作出一些必要的假设，并运用适当的数学工具，得到一个数学结构。建立数学模型的过程就称为数学建模。2 数学建模的重要意义一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之地。二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不
3、可少的工具。三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：1.预报与决策；2.分析与设计；3.控制与优化；4.规划与管理。3数学模型和建模方法的分类一、数学模型不同的分类数学模型按不同的分类标准可作如下分类：第一，按模型的应用领域不同可分为人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、城市规划模型、生产过程模型等。第二，按建立模型所采用的方法分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。第三，按模型的特性分，有确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续模型等。第四，按模型的目的分
4、为描述模型、仿真模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。对同一个对象由于不同的建模目的可以有不同的模型。第五，按照对模型结构和参数的了解程度可分为三种模型：模型的结构和参数都是已知的，称为白箱模型；只知其结构，参数未知的称为灰箱模型；结构和参数均未知的模型称为黑箱模型。二、数学建模的两类方法第一，利用物理、化学、生物学、经济学、社会学原理建立的数学模型的方法称为机理建模方法。例如利用牛顿运动定律建立系统的运动方程。第二，直接利用观察数据，根据一定的优良性准则在模型集中找出数据拟合得最好的模型。当模型是动力学方程时，这种方法称为系统辨识。这种方法常用在过程控制模型中。4数学建模
5、的一般步骤一、数学建模的基本方法：机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。测试分析：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。二者结合：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。二、数学建模的一般步骤：模型构成模型假设模型准备模型求解模型分析模型检验模型应用了解实际背景模型准备形成一个鲜明的“数学问题”明确建模目的掌握对象特征收集相关信息针对问题的“特点”和建模目的模型假设作出合理、简化的假设在合理和假设中作出折中用数学的语言、符号描述问题模型构成发挥想象力，使用类比法尽量采用简单的数学方法模型求解使用各种数学方法、软件、计算机技术模
6、型分析如结果的误差分析、统计分析模型对数据的稳定性分析与实际现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性模型检验表述数学建模的全过程：数学世界现实世界数学模型现实对象的信息验证求解数学模型的解答现实对象的解答解释表述：根据建模的目的和对象的信息将实际问题“翻译”成数学问题；求解：选择适当的数学方法求得数学模型的“解答”；解释：将数学语言表述的解答“翻译”回实际问题；验证：用现实对象的信息检验得到的解答。三、简单数学模型举例例1 一个星级旅馆有150个客房。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：如果每间客房定价160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为1
7、20元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入最高，问每间客房的定价应是多少？经分析，为建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：假设一，在无其他信息时，不妨设每间客房的最高定价为160元；假设二，根据经理提供的信息，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；假设三，设旅馆每间客房定价相等。建立模型根据题意，设表示旅馆一天的总收入，为与160元相比降低的房价。由假设2，可得每降低1元房价，住房率增加为，因此 ， 由可得，于是问题转化为：当时，求的最大值点，即求解，解模型式两边同时除以得，（常数因子不影响最值性，因此最值点和的最值点相同）易知，当时，取到最大值，此时对应的
8、住房定价为，对应的住房率为，最大收入为，讨论与验证1.容易验证此收入在已知各种定价对应收入中是最大的，事实上定价160元/（天.间）140元/（天.间）120元/（天.间）100元/（天.间）135元/（天.间）收入13200元13650元13500元12750元13668.75元为方便管理，定价140元/（天.间）也是可以的，因为此时它与最高收入只相差18.75元；2.如果定价为180元/（天.间），住房率为45%，其相应的收入为元，因此假设1是合理的。例2椅子放稳问题问题： 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能的话，给出具体的方法。经分析，为建立椅子放稳问题的数学模型，可作如下假设：假设
9、一，椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一个四方形的顶点上；假设二，地面是一张连续变化的曲面；假设三，在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。建立模型设椅子的四只脚位于,其连线构成一个正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线为坐标轴（如图）。又设为两点椅子的脚离开地面的距离和；为两点椅子的脚离开地面的距离和,则由条件得,注意到，并且假设椅子的四脚落地意味着。故不妨假设,则问题归结为是否存在，使得。解模型由条件对任意的，有, 且，令，则，从而有由闭区间连续函数的零点定理知，存在，使得，又注意到，椅子的四个脚在同一时刻至少有三只脚落地，即有，所以由，得到。即说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出了
10、放稳的具体方法。四、数学建模与列方程解应用题的差别省略 5数学建模竞赛人类已经进入了以计算机、网络、数码、光纤和多媒体等为代表的信息时代，进入了科学与技术以惊人的速度发展的知识经济时代。人们越来越深切地感觉到人才的重要性，教育改革迫在眉睫。然而数学教育在相当程度上却没能跟上科技、经济和社会的迅速发展变化。数学建模的迅速发展，特别是大学生数学建模竞赛的成功举办，为我们完成这个迫切而又艰巨的任务创造了有利的条件。美国从1938 年以来，在大学生中举办了50届普特南 (Putnam) 数学竞赛，这项竞赛对培养青年数学家有积极作用，但弗萨罗教授发现这项竞赛有三个问题：一是过于纯粹，而大多数学生将从事各
11、种领域的应用问题；二是不能用计算工具，不能看参考书，与时代的发展，与真正科研的条件不同；三是个人独立做，而现代科学研究往往要一个团队合作进行。于是他和一些看法相同的同行发起，在1985 年举办了美国大学生首届数学建模竞赛 ( Mathematical Competition in Modeling ) ，1988 年后改称为Mathematical Contest in Modeling ，均缩写为MCM ，以后每年举办一次，它吸引了世界上许多国家和地区的大学生参加。自1989 年以来，我国学生还积极参加美国大学生数学建模竞赛，近年来我国参赛队数接近于其总数的三分之一，而且还取得了很好的成绩，
12、充分展示出我国大学生的智慧和创造性。我国的大学生数学建模竞赛是从1992 年开始的，由中国工业与应用数学学会举办。这一新生事物从一开始就受到广大师生的欢迎和各级教育部门的关心与重视。并从1994 年起改由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合举办，并成立了全国组委会来具体组织竞赛。在教育部的领导下参赛队数每年以约30 的速度递增。越来越多的学生要求参赛，越来越多的教师和教育部门领导认识到这是一项培养具有高素质和创新能力人才的课外活动。大学生数学建模竞赛对于推动大学教育改革产生了积极的作用。不少院校还对一些未能参加全国竞赛的学生，在相同时间和条件下，采用同样的竞赛形式在校内进行比赛，并由学校自
13、己组织评阅，由此，培养同学们的学习意识和创新能力。数学建模这一新生事物正在以不可阻挡的趋势迅猛发展，有越来越多的人加入到了这个行列，相信它会给整个社会带来无穷无尽的财富。作业一1.假设地球是一个标准的刚性球体，其半径为6400千米，今用比赤道长1米的铁丝，在赤道平面上围成一个与赤道同心的圆，并加以固定。请问，铁丝与赤道的间隙能否钻过一只耗子？为什么?解：假设地球是一个“严格”的球体，其半径为6400千米，因而赤道的长度为，铁丝的长度为，用铁丝围成的同心圆的半径为，从而可知铁丝与赤道之间的间距为，显然一只老鼠是可以通过他们之间的缝隙的。说明：计算的重要性。第二章 数学建模的常用软件-MATLAB
14、语言1数学软件简介目前在科技和工程界上比较流行和著名的数学软件主要有四个，分别是MATLAB、Maple、MathCAD和Mathematica。它们在各自针对的目标都有不同的特色。一、Maple 系统Maple 是由Waterloo大学开发的数学系统软件，它不但具有精确的数值处理功能，而且具有无以伦比的符号计算功能。Maple 的符号计算能力还是MathCAD和MATLAB等软件的符号处理的核心。Maple提供了2000余种数学函数，涉及范围包括：普通数学、高等数学、线性代数、数论、离散数学、图形学。它还提供了一套内置的编程语言，用户可以开发自己的应用程序，而且Maple自身的2000多种函数，基本上是用此语言开发的。Maple采用字符行输入方式，输入时需要按照规定的格式输入，虽然与一般常见的数学格式不同，但灵活方便，也很容易理解。输出则可以选择字符方式和图形方式，产生的图形结果可以很方便地剪贴到Windows应用程序内。二、MATLAB 系统MATLAB原是矩阵实验室（Matrix Laboratory）在70年代用来提供Linpack和Eispack软件包的接口程序，采用C语言编写。从80年代出现3.0的DOS版本，逐渐成为科技
