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1、第八章 不定积分1不定积分概念与基本积分公式1验证下列等式（1） （2）证明 （1）因为是的一个原函数，所以.（2）因为, 所以.2求一曲线, 使得在曲线上每一点处的切线斜率为, 且通过点.解 由导数的几何意义, 知, 所以. 于是知曲线为, 再由条件“曲线通过点”知，当时，, 所以有 , 解得, 从而所求曲线为3验证是在上的一个原函数.证明 当时, , ; 当时, , ; 当时, 的导数为, 所以4据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I上的导函数，它在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类
2、间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。5求下列不定积分 2换元积分法与分部积分法1应用换元积分法求下列不定积分： 解法一： 解法二： 解法一：利用上一题的结果，有解法二： 解法三： 解法一：解法二：解法三：解法四： (21) (22) 解法一：解法二：解法三：(23) (24) (25) (26) 解 令, 则(27) 解法2 令, 则(28) 解 令, 则(29) 解 令, 则, 其中(30) 解 令, 则, ,2应用分部积分法求下列不定积分： 所以 所以 类似地可得3求下列不定积分： 4证明： 若，则证： .因为，所以.从而. 若，则当时，证： 所以，同理可得5利用上题的递
3、推公式计算：解：(1) （2）（3）6导出下列不定积分对于正整数n的递推公式：解：（1）（2）（3）（4） 移项合并得7利用上题所得递推公式计算：解：（1）（2） （3）（4）而移项解得故有 3 有理函数和可化为有理函数的不定积分1求下列不定积分： 解法一：解法二： 解 去分母得 令，得. 再令，得，于是. 比较上式两端二次幂的系数得 ，从而，因此 解 解 令, 解得, , , 于是 其中 参见教材P.186 例9或P.193关于的递推公式.于是，有2求下列不定积分 解 令，则 另解：设，则，所以 其中（利用教材P.185例7的结果）所以有 解 令 ，则，代入原式得总 练 习 题求下列不定积分： 其中所以 解 令，则 解法二：令， 解 令去分母得：解得：，所以 解 令， 另解： 解 令 ，解 所以
