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1、数值 分析读书报告 二 第四章 数值积分 和数值微分 考虑了函数逼近之后 ， 我们现在要考虑的就是对于一些较麻烦的函数怎么求它的某些运算 .例如函数的积分运算 ， 如果函数的性质不好的话 ，我们就不能求出它 的 原函数 ，从而 不能 用 牛顿 莱布尼茨 公式 计算积分 函数 的 值 ， 那么我们就要找一个运算来逼近它 ， 我们介绍的方法是公式 ： f(x)dx=baAkf(xknk=0) 其中的 xk称为求积节点， Ak称为求积系数。 除此之外，我们还提出了代数精度的概念。为的就是能够比较不同的求积公式的好坏。在课本中，我们主要介绍的是梯形公式和辛普森公式。其中的辛普森公式有点特殊，因为它的代
2、数精度是 n+1,这是我们要注意的。 第二节 介绍了牛顿-柯 斯特 公式 ，根据牛顿柯斯特 公式 我们可以推导出常用的梯形公式和辛普森公式。 后面我们为了提高求积精度，介绍了高斯求积公式，它可以把精度提高到2n+1，这是一个非常好的求积公式。通过它的启发，我觉得我们可以找一些特殊的区间，使得一些求积公式的精度能够得到大的提高，这是有价值的。 对于 数值微分部分，首先介绍了简单的中点方法，然后说明了插值型的求导公式，即 () = () 又有 两点公式和三点公式，这样和数值积分是 很 类似，可以很好的理解。 第五章 解线性 方程组 的 直接 解法 在 自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解
3、线性代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据 的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值问题等都导致求解线性代数方程组，而这些方程组的系数矩阵 大致 分为两种，一种是低调稠密矩阵 。 另 一种 是大型稀疏矩阵。 关于 线性方程组的 数值 解法一般有两类：直接 法 和迭代法。 直接法 就是经过有限算数运算， 可求得 线性方程组精确解的方法 。但 实际计算中由于舍入误差的存在和影响 ， 这种方法也只能求得线性方程组的近似解。这类 方法是解低调稠密矩阵方程组及某些大型稀疏矩阵 方程组 的有效方法。 迭代法
4、 就是用某种 极限 过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。 迭代法 具有需要 计算机 的存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变 等 优点，但存在收敛性及收敛速度的问题。迭代法 是 解大型稀疏矩阵方程组的重要 方法 。 本章 第一节介绍了向量和矩阵的一些基本知识 和 一些特殊矩阵， 以备 后边各节的使用 。 第二节 介绍 了一个最古老的求解线性方程组的方法 ， 就是高斯消去法，这种方法早在公元前 250年 我国就掌握 了 ，通过 这种方法的改进、变形得到的选主元素 消去法 、三角分解法仍然是目前计算机上常用的有效方法 。 后边 介绍 了将高斯消去法改写紧凑形式。可以直接从
5、矩阵 A的 元素 得到 计算 L， U元素 的递推公式， 而 不需任何中间步骤的直接三角分解法 。 平方根 法 ，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称正定方程组的一种有效方法。和 后边 的追赶 法 。为了 研究 线性方程组 近似解 的误差估计和迭代法的收敛性，我们 又 介绍了向量（矩阵） 范数 的概念 。 第 六章 解线性方程组 的迭代法 在 一些工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（ A的 阶数 n很大， 但 零元素较多，例如 求某些偏微分方程 数值解 所产生的线性方程 组 ， n104） ，利用迭代法求解这种线性方程组是合适的。 本章 主要介绍了迭代法的一些基本 理论 及雅可比迭代
6、法、高斯 -赛德尔迭代法 、超松弛迭代法和共轭梯度法。迭代法 的 收敛的冲要条件是矩阵 B 的 谱半径（ B) 1。 第七章 非线性 方程与方程组的数值解法 非线性 是实际问题中经常出现的，并且 在 科学与工程计算中的地位越来越重要， 很多 我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题 简化 得到的， 为得到 更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，从而产生非线性科学，它是 21 世纪 科学技 术发展的重要支柱。非线性 问题 的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。但 要 用计算机进行科学计算都要转换为非线性的单个方程或方程组的求解。从 线性 到非线性是一个质的变化，方程的性质有
7、本质 不同 ，求解方法也有很大差别 。 本章 首先介绍了求单个方程的二分法，这是一个逐步逼近精确解的过程，但是求解的次数很多，也即 收敛 速度慢。 第二节 介绍了不动点迭代法，即 +1 =()。这种方法 是一种 逐次 逼近法， 其 基本思想是将隐式方程归结为 一组 显示的计算方法 ， 就是说，迭代 过程 实质上 是 一个逐步显化的过程。对于 收敛 的 迭代过程 ，只要迭代足够多次，就可以达到任意精度 ， 但有时迭代过程收敛缓慢，所以我们又研究了埃特金加速收敛的方法。 紧接着 介绍了牛顿迭代法，即 +1 = ()(),这个公式是 平方收敛的。 第 9章 常微分 方程初值问题数值解法 科学 技术中
8、很多问题都可用常微分方程的定 解 问题来描述，主要有初值问题与边值问题两大类。 本章 主要介绍了欧拉法与后退欧拉法、梯形法以及改进的欧拉法，同时也说明了这些方法的局部截断误差问题和精度问题。 心得体会 通过 这一学期的学习 。 使我对数值分析有了全面、多 元化的 了解 和认识 。 它所 涉及到的内容，涵盖的背景，以及 其 应用性 都是 面向 21世纪 的实用性很强的，对我的 未来 帮助很大的基础的东西 。 回顾起 这学期学习的内容，总的感觉 内容 好多，书的连续性不是很紧凑，很多方法 突然 念起名字来还有些生疏，遗忘 性 太高，不过相信在 我 们好好的复习课本之后应该能很快的回忆起来，全书一共
9、九章的内容 在 一个学期之内 学完 ，自己感觉还是很有成就 的 ，每学习一章内容之前，我都 思考 这类问题 怎么样 才能给出数值 解法你额？而 在 学完之后，我都会 无比 惊叹 与 佩服 于 伟大数学家们的数学造诣，他们的数学思想 的确 有待我们好好 学习 与琢磨。 在 整个学习过程中，让我觉得遗憾的就是，我们没有具体的 上机 课安排，只是老师在其中一节课上用 Matlab 演示了 曲线 的 拟合 技术，然后让我们自己在 课下 进行相应的联系，由于条件的限制，自己还是没能去实地上机操作，我想要是以后用到这个软件，需要 亲自 操作 时 ，自己一定会 认真 学习这个软件，为我们的计算带来便利。 总之 ，我相信经过这门课程的学习，对我以后的学习以及科技创新都会起到很大的促进作用。
