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1、导数定义例1 在处可导，则 思路： 在处可导，必连续 例2已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）分析：在导数定义中，增量x的形式是多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）（2）例3观察，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数 令 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点. (1) 若点的坐标为, 求证：;(2) 若函数的图象不通过坐标原点, 证明直线
2、与函数的图象上点处切线垂直. 证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点， |OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值 F(a)=0， 即 2a+2f (a)f (a)=0 (2) 线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f (a) 由(1)知f (a)f (a) = a，图象不过原点，a
3、0，f (a) = 1OPl，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.利用导数证明不等式例6求证下列不等式（1） （相减）（2） （相除）（3） 证：（1） 为上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 （理做）设a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.（）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时
4、，即(利用单调性证明不等式）故当时，恒有（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,),，令，解得x=0，当-1x0时,，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：.由(I)的结论知，由题设0ab,得,因此，所以又 综上(II)证法二：，设，则，当0xa时，因此F(x)在(a,+)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0
5、,即设,则当x0时,因此G(x)在(0,+)上为减函数，因为G(a)=0,ba,所以G(b)0，t1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，当时，有，函数f(t)在递增f(t)f(1)即t-1g(1)=0综上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得利用导数求和例7利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，；当x1时，两边都是关于x的函数，求导得即（2），两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。单调区间讨论例设
6、，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解：. 当时 .（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.（2009安徽卷理） 已知函数，讨论的单调性. 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.3.设函数在处取得极值，且曲线在
7、点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性 （3）方程有两个不相等实根 w.w.w.k.s.5.u.c当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数(2009山东卷文)已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上
8、,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.（2009浙江文）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
9、（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析 （）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得分离常数已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.学科网解：的定义域为， 的导数. 令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值. 学科网（）解法一：令，则， 学科网 若，当时，学科网故在上为增函数，所以，时，即.学科网 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，与题设相矛盾. 综上，满足条件的的取值范围
10、是. 学科网解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 令， 则. 当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是. 广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题（本小题满分14分）已知()求函数的单调区间;()求函数在上的最小值;()对一切的,恒成立,求实数的取值范围. () 2分4分()()0tt+2，t无解；5分()0tt+2，即0t时，；7分()，即时，9分10分()由题意:在上恒成立即可得11分（分离常数）设,则12分令,得(舍)当时,;当时, 当时,取得最大值, =-213分. 已知函数,设（）求函数的单调区间；学科网（）若以函数图像上任意一点
11、为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；学科网解析：（I），由，在上单调递增。 由，在上单调递减。的单调递减区间为，单调递增区间为。学科网（II），恒成立学科网（分离常数）当时，取得最大值。，学科网 设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围学科网则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为学科网18.（2009全国卷理）本小题满分12分。设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解析 由题意有又（
