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1、7.6 高斯求积公式,前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时，代数精度为n 。,我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n 。设想：能不能在区间a,b上适当选择n+1个节点 x 0，x1,x2,xn ,使插值求积公式的代数精度高于n？,答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。,一般理论,求积公式,含有 个待定参数,如果适当选取 有可能使求积公式具有 次代数精
2、度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.,一般性，研究积分,（7.40）,为不依赖于 的求积系数.,使（7.40）具有 次代数精度.,为求积节点，,可适当选取,定义7.3,如果求积公式(7.40)具有 次代数精度，,则称其节点 为高斯点，相应公式(7.40)称为高斯求积公式.,根据定义要使(7.40)具有 次代数精度，只要对,（7.41）,求出右端积分，则可由(7.41)解得,令(7.40)精确成立，,即,例：选择系数与节点，使求积公式（1） 成为Gauss公式。,解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3
3、代入公式，并让 其成为等式，得,求解得：,所求Gauss公式为：,数值分析,定理7.7,是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过 的多项式 正交，,（7.43）,证明,即,插值型求积公式(7.40)的节点,必要性.,设,则,7.6 gauss求积公式的构造,精确成立，,因,即有,故(7.43)成立.,则求积公式(7.40)对于,充分性.,用 除 ，,记商为 ，,余式为 ，,即 ,其中 .,对于,由(7.43)可得,由于求积公式(7.40)是插值型的，它对于 是精确的，,即,再注意到,知,从而有,可见求积公式(7.40)对一切次数不超过 的多项式均精确成立. 因此， 为
4、高斯点.,定理表明在 上的 次正交多项式的零点就是求积公式(7.40)的高斯点.,有了求积节点 ，再利用,对 成立，,的线性方程.,解此方程则得,则得到一组关于求积系数,下面讨论高斯求积公式(7.40)的余项.,利用 在节点 的埃尔米特插值,于是,也可直接由 的插值多项式求出求积系数,即,并由 到 积分，则得,其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故,由于,由积分中值定理得(7.40)的余项为,关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：,定理7.9,证明,它是 次多项式，,因而 是 次多项式，,注意到,高斯求积公式(7.40)的求积系数,全是正的. ,考察,故高斯求积,公式(7.40)对于它能准
5、确成立，即有,上式右端实际上即等于,从而有,定理得证.,高斯求积公式(7.40)是稳定的.,7.6.2 高斯-勒让德求积公式,在高斯求积公式(7.40)中，,由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，,勒让德多项式 的零点就是求积公式(7.50)的高斯点.,形如(7.50)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.,区间为,则得公式,（7.50）,令它对 准确成立，即可定出,这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为,是中矩形公式.,若取 的零点 做节点构造求积公式,再取 的两个零点 构造求积公式,令它对 都准确成立，有,由此解出,三点高斯-勒让德公式的形式是,表4-7列出高斯-勒让德求积公式(7.
6、50)的节点和系数.,从而得到两点高斯-勒让德求积公式,这里 是最高项系数为1的勒让德多项式.,公式(7.50)的余项,得,当 时，有,它比区间 上辛普森公式的余项,还小，且比辛普森公式少算一个函数值.,当积分区间不是 ，而是一般的区间 时，,只要做变换,可将 化为 ,对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.,这时,例,用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算,解,先将区间 化为 ，,根据表4-7中 的节点及系数值可求得,高斯-切比雪夫求积公式,若 且取权函数,则所建立的高斯公式为,称为高斯-切比雪夫求积公式.,由于区间 上关于权函数 的正交多项式是,切比雪夫多项式，,因此求积公式的高斯点
7、是 次,切比雪夫多项式的零点，即为,的系数,于是高斯-切比雪夫求积公式写成,余项,带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.,例,用5点( )的高斯-切比雪夫求积公式计算积分,解,当 时由公式,误差,这里,可得,4.6 数 值 微 分,数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.,4.6.1 中点方法与误差分析,按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式,其中 为一增量，称为步长.,（6.1）,后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均.,但它的误差阶却由 提高到,较为常用的是中点公式.,为利用中点公式,计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为
8、此需要进行误差分析.,分别将 在 处做泰勒展开有,代入中点公式得,从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确.,其中,且,（6.2）,再考察舍入误差.,按中点公式，当 很小时，因 与 很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失.,因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的.,例如，用中点公式求 在 处的一阶导数,取4位数字计算.,结果见表4-8(导数的准确值 ).,从表4-8中看到 的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差.,则计算 的舍入误差上界为,这是因为当 及 分别有差入误差 及,若令,它表明 越小，舍入误差 越大，故它是病态的.,用中点公式(6.1)计算 的误差上界为,
9、要使误差 最小，步长 不宜太大，也不宜太小.,其最优步长应为,4.6.2 插值型的求导公式,对于列表函数,运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似.,由于多项式的求导比较容易，我们取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式,（6.3）,统称插值型的求导公式.,即使 与 的值相差不多，,与导数的真值 仍然可能差别很大.,导数的近似值,因而在使用求导公式(6.3)时应特别注意误差的分析.,依据插值余项定理，求导公式(6.3)的余项为,式中,但如果限定求某个节点 上的导数值，那么第二项中,由于 是 的未知函数，所以对随意给出的点 ，,误差是无法预估的.,因式 变为零，这时余项公式为,（6.4）
10、,下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的.,1. 两点公式,设已给出两个节点 上的函数值,对上式两端求导，记 ，有,做线性插值,于是有下列求导公式：,利用余项公式(6.4)知，带余项的两点公式是,2. 三点公式,设已给出三个节点 上的函数值，,做二次插值,令 上式可表示为,两端对 求导，有,（6.5）,式中撇号（）表示对变量 求导数.,分别取 得到三种三点公式：,带余项的三点求导公式为,（6.6）,其中的公式(6.6)是中点公式. 它比其余两个三点公式少用了一个函数值.,用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：,例如，将式(6.5)再对 求导一次，有,于是有,而带余
11、项的二阶三点公式如下：,（6.7）,4.6.3 利用数值积分求导,微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分.,设 是一个充分光滑的函数，,（6.8）,对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式.,则有,例如，用中矩形公式(1.2)，则得,从而得到中点微分公式,若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有,略去上式余项，并记 的近似值为 则得到辛普森数值微分公式,这是关于 的 个方程组，,已知，,（6.9）,若,则可得,这是关于 的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解(见第5章5.4节).,如果端点导数值不知道，那么对(6.9)中第1个和第
12、个方程可分别用 及 的中点微分公式近似，,然后求,即为 的近似值.,即取,例8,给定 的一张数据表(表4-9左部)，,并给定 及 的值(见表4-9).,解,解之得,结果见表4-9.,根据(6.9)有,4.6.4 三次样条求导,三次样条函数 与 ，不但函数值很接近，而且导数值也很接近，并有,（6.10）,因此利用三次样条函数 接得到,根据第2章(7.8)，(7.9)可求得,这里 为一阶均差.,其误差由(6.10)可得,4.6.5 数值微分的外推算法,利用中点公式计算导数值时,对 在点 做泰勒级数展开有,其中 与 无关.,利用理查森外推对 逐次分半，,则有,若记,（6.11）,公式(6.11)的计算过程见表4-10，表中数字为外推步数.,根据理查森外推方法，(6.11)的误差为,由此看出当 较大时，计算是很精确的.,例9,解,当 时，由外推法表4-10可算得,考虑到舍入误差，一般 不能取太大. ,用外推法计算 在 的导数. ,令,的精确值为 可见当 时用中点微分公式只有3位有效数字，外推一次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字.,
