因式分解（初二组）（i）

《因式分解（初二组）（i）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解（初二组）（i）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、因式分解及应用知识精讲: 一、因式分解的概念 因式分解的意义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意： （1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。 （2）因式分解是一种恒等的变形 （3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。 归纳：因式分解的要点 第一：因式分解要进行到底； 第二：不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原； 第三：注意解题技巧的运用，不要死算。 二. 因式分解方法（一）提公因式法 1、多项式各项都含有的因式，叫做这个多项式的公因式。 多项式ab+bc各项都

2、含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。如b就是多项式ab+bc的公因式。同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。 2、确定公因式的方法： （1）若多项式的各项系数都是整数，则取各项系数的最大公约数作为公因式的系数； （2）取各项相同的字母因式； （3）取相同字母因式的最低指数作为字母的指数。 3、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 4、提公因式发分解因式的一般步骤： （1）找出公因式（关键）； （2）

3、提出这个公因式，并把原多项式除以公因式所得的商作为另一因式，写出分解结果； （3）提公因式时，注意符号的变化。 注意：（1）如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号，使括号内的第一项系数为正； （2）公因式的系数和字母应分别考虑：系数是各项系数的最大公约数；字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。（二）公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2； (3) (a+b)(a2-

4、ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； （6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； （7）a3+b3(a+b)(a2-ab+b2) （8）a3b3(ab)(a2+ab+b2)（三）因式分解添项拆项配方法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项

5、和拆项有没有标准？一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。（四）因式分解待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。（五）在实数范围内分解因式（六）十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。（二）

6、二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=（三）二次项系数为1的齐次多项式（四）二次项系数不为1的齐次多项式（七）换元法用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化。（八）分组分解法.把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。三、因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基

7、础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。典型例题：一、提取公因式例1、下列由左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是？为什么？（1）； （2）；（3）； （4）；（5）变式练习：1、下列哪些是因式分解？ （1） （2） （3） （4） （5）2、下列由左到右的变形是分解因式的是（ ） A、axbxc B、 C、 D、3、由左到右的运算属因式分解的是（ ） A、（3a+2）(a-3)=3a2-7a-6 B、3a2-7a-6=（3a+2）(a-3) C、3a2-7a-6=3(a-22)-7a D、m(a+b+c)=ma+mb+mc例2、找出下列各组式子中的公因式（1） a

8、x和ay；_ ； （2）3a2和-9ab； ；（3）4a3，8a2b2，-3a2bc _ ；（4）4x（y1）2 和8x（y1）（y1）_ ；（5）2xny2n和4xny2n+1（n为大于1的整数） 。变式练习：1、对下列多项式进行因式分解：（1）3a3b3（_）； （2）a2a _；（3）4ab2a2b_； （4）2(x-y)2-4(x-y)_ _；（5）24m2x16n2x _ ； （6）a2-ab+3a_ 。2、（2010年广东省广州市）分解因式：3ab2a2b_3、(2011浙江绍兴) 分解因式： . 4、分解因式a2（bc）bc_例3、把多项式8a2b316a2b2c224a3bc3

9、分解因式，应提的公因式是( )，A、8a2bc B、2a2b2c3 C、4abc D、24a3b3c3变式练习：1、多项式的公因式是（ ） A、a、 B、 C、 D、2、单项式与的公因式是 。3、用提公因式法分解因式5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx4、在分解-5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b)2后，另一个因式是（ ） A、5x3 B、5x3+1 C、5x3-1 D、-5x3例4、将下列多项式进行分解因式： （1）（3） （2） （3）8a3b212ab3c+ab （4）24x312

10、x2+28x （5）x（a+b）+y（a+b） （6）6（p+q）212（q+p） （7）a（x3）+2b（x3） （8）mn（mn）m（nm）2变式练习： 将下列多项式分解因式：（1）a2b2ab2+ab （2）48mn24m2n3 （3）2x2y+4xy22xy （4）3a（xy）（xy） （5）a（m2）+b（2m） （6）3（mn）36（nm）2（7) (8)二、公式法例1分解因式：(1)4a2-9b2 (2)-25a2y4+16b16 （3）(2m-n)2-121(m+n)2 （4）-4(m+n)2+25(m-2n)2变式：(1)36b4x8-9c6y10 (2)(x+2y)2-(x

11、-2y)2 (3)81x8-y8 (4)(3a+2b)2-(2a+3b)2 例2.分解因式: (1) a5b-ab (2)a4(m+n)-b4(m+n) (3)- 例3、把-a2-b2+2ab+4分解因式。 例4、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n 例5、分解因式：x48x2+16 例6、分解因式：(1)x2+6ax+9a2 (2)-x2-4y2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1 变式练习：分解因式：(1)a4x2-4a2x2y+4x2y2 (2)(x+y)2-12(x+y)z+36z2 (3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16 (4)(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4 例7、分解因式：(1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2 (2)3a4-6a2+3 变式练习：(3)an+1+an-1-2an (4)(m2+n2+1)2-4m2n2 中考例析：1（贵阳市）因式分解：x2-4y2= . 2（长沙市）分解因式：ma2+2ma+m= . 3（河北省）分解因式：=_。 4（北京市东城区）分解因式：2a3b+8a2b2+8ab3=_; 5.（辽宁）方程2x(x-3)=5(x-3)的根为（ ）A、x=; B、x=3; C、x1=3,x2=; D、x=-