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1、 10 下期 12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ） ，那么2cEe动 ep2如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系eV6105.式，这样，便有 phnmEchee71.035.24296在这里，利用了 eVhc624.以及 e62105.最后，对 Eche2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波
2、动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德TE23布罗意波长。解 根据，eVKk310知本题的氦原子的动能为 ,5.233TE显然远远小于 这样，便有2c核Ech2核nmm37.01105.4936这里，利用了 eVec962 107.394核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系
3、，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 TkchEc22据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。2.3 一粒子在一维势场axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： 无关，是定态问题。其定态 S方程tx与)( )()()(2xExUdxm在各区域的具体形式为： )()()(2 0 111 xExdx： )()( 22max： )()(
4、)( 3332 xExUdx由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须)(U0)(1x2即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(2xmEdx令 ，得2k0)()(22xkdx其解为 BAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 )0(12 )(3a B 0sinkA),32 1( 0sinkaA xanAxsi)(2由归一化条件 1)(2dx得 1sin02axdA由 mnab axm2iixanxAsi2)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为nEaxxeantxtEin n ,
5、,0 ,si),(#2.7 一粒子在一维势阱中axUx ,0 )(运动，求束缚态( )的能级所满足的方程。E解法一：粒子所满足的 S-方程为)()()(2xExUdx按势能 的形式分区域的具体形式为)( ： )x(E)(U)x(d21101 ax： )()(222xx x： )(E)(U)(d23303 xa整理后，得： 0)(1201：. E 2： 0)(3203U令 22021 )(EkEk则： 12：. 02k： 13各方程的解为xkxk3222xkxk11111FeEcosDsinCBA由波函数的有限性，有0 )(31EA有 限有 限因此xk311FeB 由波函数的连续性，有 )13(
6、 FekasinDkacosCk),a( 2 in asincoBe,)0(asi)a()( a122232 222ak121 1 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0FekaDsinkaCcosk0in iBesi a12222ak1 解此方程即可得出 B、C、D、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Bekasinakcos0ciniekossi a122a1 22 ak2cosak2sin)k(e inicoei acsase koiksinknecoasiasi 0kckne esici112a 212k2a1 ak 222a21 kk
7、 ak122a1 a122ak1 111111 0 0cssi)( 21221 kkk即 为所求束缚态能级所满足的方程。#2atg解法二：接（13）式 aksinDakcosCkcosDsinC212122 aksinDakcosCakcosDasinC2121222 02cosk 2sin)( 1 0cosincossicosi 0)in)(i( cossisico)in)(i( 0cossisico122 221221221 2212221 2122 212 aak akakakakk akkakakkak#解法三：(11)-(13) )(si122 FBeDak(10)+(12) aco
8、1)a( ktg)12(0312(11)+(13) ikeBFaC1)(cos122 (12)-(10) aikkin令 则， ak22 )d( ctg c 、 f aU2)k(0212 （b）kactgkk )10()12( )13()11( 122 合并 ：)b(a、利用212ktg aktg12at#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）： （0）1012EU： （02 ）22 a： （2 ）3303EU0)(2)(230311EU束缚态 (3) 0kE2k )U( 1321 20110E0UxkxkxkxFeEDCBA1113222cossin0 )(3EB有 限有 限因此xkFeA131
9、 由波函数的连续性，有 )7( Feak2cosDasinC),a2()( 6 ink 5 A,0 )4( )( ak2232 ak212112 1 (7)代入(6)aDCk 2121222 sinsi 利用(4)、(5)，得 0ak2cosak2sin)k(i)0A0ak2cosasin)k( aksiAi112 2212212 21221 、# 3.1 一维谐振子处在基态 ，求：tixex2)(1)势能的平均值 ；21U(2)动能的平均值 ； 2pT(3)动量的几率分布函数。解：(1) dxexU2221 2222 411410 122)(53andxean (2) pT)(212*xee
10、x22121)(dx2)(222eexx223441或 412UET(3) cp)()(*2121dxePixPxi21 depix22)(1 21xipp222)(1 212pe 2pe动量几率分布函数为21)(2pepc#3.2.氢原子处在基态 ，求：0/31),(arer(1)r 的平均值；(2)势能 的平均值；re2(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1) drreadr a sin1),(022/32 00/2304r01!naxnde04032a020320/2/3022/3214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarra
11、r(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdr drear2/30042/3004)(ear0/203)(ardr 令 0321 , ,0 )( arrdr 、当 为几率最小位置)( ,0210/20302 )48(4areradr)(23020ear 是最可几半径。0ar(4) 221pT 02 2/2/30 sin)(100 dreaarr02 2/2/30 i)(00drrea0/02302 )(140eaar202402)(5) drpcp,)()(* 200cos02/32/3 in1)(0 dereaprir0cos0/232/ )( )(d
12、priar0 0cos/232/ 0)(priaree0/32/ )()(0drripapiria01!naxnde 22 sin1)(ii1)( )1()1()2( 202030/ piapiai 22030)(41iipa220430)(24220/)(pa动量几率分布函数420253)(8)(pac3.6 设 t=0 时，粒子的状态为cossin)(21kxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。解： cos)(cosin)( 212121 kxkx coskx)()(12212 ikxikxikxi eeA 21 2121210 ikxikxikxixi可见，动量 的可能值为np 动能 的可能值为 2
