《信号与系统第二章习题与答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统第二章习题与答案（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章习题与答案1 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。分析：Z变换定义，n的取值是的有值范围。Z变换的收敛域是满足的z值范围。 解：(1) 由Z变换的定义可知： 解：(2) 由z变换的定义可知： 解:（3） 解： (4) ， 解：(5) 设 则有 而 因此，收敛域为 ： 解：(6) 2 . 假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。 分析：解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 | Z | 3/4 ,为双边序列， 请看 (2) | Z | 1/2
2、, 为左边序列，请看 (3) | Z | 3/4 ， 为右边序列， 请看 分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的升幂排列。部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x（n）。留数定理法：（1）(iii)部分分式法： 因为 所以 （1）（i）长除法： 所以：（1）(ii)留数定理法： , 设 c为内的逆时针方向闭合曲线： 当时，在c内有一个单极点 则 (3)(iii). 部分分式法： 则 所以 （2）(i). 长除法
3、： ,因而 是左边序列,所以要按的升幂排列： 所以 （2）(ii)留数定理法: 内的逆时针方向闭合曲线 在c外有一个单极点 在c内有一个单极点 综上所述，有：(2)(iii). 部分分式法： 则 因为 则是左边序列 所以 (3)(i). 长除法：因为极点为，由可知,为因果序列, 因而要按 的降幂排列: 则 所以(3)(ii). 留数定理法:内的逆时针方向闭合曲线。 4. 有一右边序列 ，其 变换为(a) 将上式作部分分式展开(用 表示)，由展开式求 。(b) 将上式表示成 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 解：(a) 因为且x(n)是右边
4、序列 所以 (b) 5对因果序列,初值定理是,如果序列为 时,问相应的定理是什么? ,其z变换为： 注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由求表达式是不同的，将它们各自的相加即得所求。 若序列的Z变换为： 由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为： 6. 有一信号,它与另两个信号和的 关系是: 其中 ， 已知 ， 分析：解：根据题目所给条件可得： 而 所以 7. 求以下序列的频谱。 (1) (2) (3) (4) 分析：可以先求序列的Z变换再求频率即为单位圆上的Z变换，或者
5、直接求序列的傅里叶变换解：对题中所给的先进行z变换再求频谱得： 8. 若是因果稳定序列，求证：分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。证明: 9求的傅里叶变换。分析:这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。解：根据傅里叶变换的概念可得： 10. 设是如下图所示的信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算： (a) (b) (c) (d) 分析：式序列的抽取序列，是内插零值序列（不是内插序列），解题的关键是要进行变量变换，以得到与的Z变换相似的表达式。解：由帕塞瓦尔公式可得： 即由帕塞瓦尔公式可得： 11已知有傅里
6、叶变换，用表示下列信号的 傅里叶变换。 (a) (b) (c) 分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式分析：利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。解： (c) 则 而 所以 12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 (a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。分析： 则 ，要求收敛域必须知道零点、极点 。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）
7、。解：(a) 对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得： 所以 零点为z=0，极点为 因为是因果系统，所以|z|1.62是其收敛区域。 零极点图如右图所示。 右边是本题的零极点图。 由于的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。(c) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选的收敛区域为 ，即 ，则 中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 13. 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系 统，已知它满足 并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出，然后和题12（c）一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：
8、 对给定的差分方程两边作Z变换，得： ，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括即可求得 14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。 (1) 按12题结果(此处z1=2, z2=1/2),可知当收敛区域为,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为： (2) 同样按12题，当收敛区域为 ，则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为：(其中 ) (3) 类似 , 当收敛区域为时，则统是非稳定的，又是非因果的。 其单位抽样响应为： (其中 ) 解 : 对题中给定的差分方程的两边 作Z变 换，得：因此 其零点为 极点为 , 因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。 收敛域情况有： 零极点图一： 零极点图二： 零极点图三： 15. 有一个用以下差分方程表示的线性移不变因果系统 当激励时,求系统的响应。请用z变换来求解。分析：两种解法：直接由Z变换Y（z）的关系可得到y（n），由Y（z）用留数法可求得y（n）。解法一: 已知, 将上式进行Z变换，得： 因此 令，解法二： 差分方程进行Z变换后得: 其中 其收敛区域为。因为是因果系统，
