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1、第十二章 多圆锥投影 李连营 本章主要内容 12.1 多圆锥投影的一般公式 12.2 普通多圆锥投影 12.3 一种广义的多圆锥投影 12.4 等差分纬线多圆锥投影 12.5 正切差分纬线多圆锥投影 12.1 多圆锥投影的一般公式 从多圆锥投影原来的几何构成来理解，可视为对 地球上每一定纬度间隔的纬线作一个切圆锥。这 样一系列圆锥的圆心必位于地球旋转轴线上，然 后将这些圆锥系列沿一母线展开。 各纬线成为以切线为半径的圆弧，使各圆心位于 同一直线上(作为中央经线)，圆心的定位以相邻 圆弧间的中央经线距离保持与实地等长为准。这 就使得各纬线成为同轴圆圆弧。经线则是以光滑 曲线的形式连接各纬线(即圆
2、锥对球面的切线)与 一定间隔的经线交点而构成的对称曲线 公式汇总 22 cos , sin sin cos cos cos sec cos 1 2 22 c xqqxf y q F tg Hq Hq P MrMr G n rr q m nM mn tg P 12.2 普通多圆锥投影 本投影在美国被广泛应用，所以也称为美国多圆 锥投影。该投影中央经线是直线，其长度比为1， 即m0=1，纬线是与中央经线正交的同轴圆圆弧， 圆心位于中央经线上，其半径为=NCos。 公式 24 3 35 24 2 22 22 2 sin sincossincos 224 cossincossincos 6120 si
3、n cos1 12sin 2 1 12sinsec 2 11 2 22 Nctg NN xs NN yN tg M tg N N Pctg M n N mctg M m tg P 总结 普通多圆锥投影最适宜于表示沿中央经线延伸的 制图区域，由中央经线向两侧的距离愈远，则变 形数值愈大。在离中央经线 =15的边缘经线上 最大变形为3.4，角度变形等于156。 该投影可用于编制中、小比例尺地图的数学基 础，我国有关大地测量地图投影方面的教科书和 参考书中也有这个投影的介绍。 我国解放前出版的“中华民国新地图”曾用过这种 投影。 该投影也是百万分一地图投影的基础。 12.3 一种广义的多圆锥投影 建
4、立这种投影的方法和以前介绍的常规建立地图 投影的方法不同。它只是以纬线为同轴圆圆弧而 列入多圆锥投影之列，故是一种广义的多圆锥投 影。它的建立系采用所谓数值方法，其基本思想 是经纬线方程表现为多项式。这种多项式是基于 预先按设计草图取得若干经纬网交点坐标而建立 的，其余一切交点的坐标则从已得的交点坐标用 内插法求得，由此建立经纬网。 建立步骤 1拟定经纬网草图 根据预定任务利用现成的世界图预先编拟几个新的投影 网格草图，对这些草图评定后再编制较好的和精确的草图。 设计草图主要是要确定其中央经线与赤道的长度，边缘经 线和极线的形状。这些因素确定后，也就确定了新投影的 主要面貌，例如投影的总的面积
5、比、沿经线与纬线长度比 及其变化。 2计算经纬网交点的坐标 在草图的边缘经线每隔20量取交点的直角坐标，按最 小二乘法平差，可以得到用5次的多项式表示经线的纵坐 标，6次的多项式表示的横坐标。然后用斯德林公式内插 每隔10的点坐标。再求中间二、三条经线交点坐标。为 此取离中央经线60和120的经线，在等分纬线的多圆锥 投影中，直角坐标值是容易用三角方法求得的。 公式推导 1 1 1 2 csc x tg y y 公式汇总 3 0 3 180 24 180 1 0.0000002392 0.023550 0.0000002937 150 0.00019080 0.00000000319 xRb
6、xR cd yR efg aarc b c d ea f g 式中： 该投影特点 1该投影中央经线和赤道投影后为直线，并作为 其它经线和纬线的对称轴，纬线的间隔自赤道向 两极逐渐增大，而在纬线上的经线间隔是相等的。 全球的图形容纳在一个矩形的图廓内，两极在图 上不予表示。 2就变形性质来说，它是介于等面积投影和等 角投影之间的一种投影，但更接近于前者，陆地 大部分面积变形不超过5060，在赤道上的面 积比最小为0823；大部分地区角度变形不超过 4550。 12.4 等差分纬线多圆锥投影 等差分纬线多圆锥投影系属于任意性质的多圆锥 投影，是我国制图工作者根据我国形状和位置， 并指定变形分布，于
7、1963年设计的。该投影已在 我国编制各种比例尺世界政区图以及其它类型世 界地图中得到较广泛的使用，获得了较好的效果。 16 一般公式 3 0 0 0 3 0 0 00 2 2 0 0 0.99535370.01476138 10000000,6371116, 63.415140.9404646 0 1 2 n ii n nn n R xq R xq y xy bC yxx xx 设米为弧度计 代入上式 式中 、 以厘米为单位。 极坐标公式 1 0 n iii n i y ybC x 公式汇总 cos sin xq y 22 0 0 22 2 1.10 1 0.001010101 180 co
8、ssin 1 242 n i ii n r x m R xy nn P R mn tg P 特点 1纬线投影后为对称于赤道的同轴圆圆弧，圆心位于 中央经线上；经线对称于中央直经线，且离中央经线愈 远，其经线间隔也愈成比例地递减；极点表示为圆弧，其 长度为赤道投影长度的二分之一，经纬网的图形有球形感。 2 我国被配置在地图中接近于中央的位置，而且图形 形状比较正确，并使我国面积相对于同一条纬带上其它国 家的面积不因面积变形而有所缩小。 3 图面图形完整，没有裂隙，也不出现重复，保持太 平洋完整，可显示我国与邻近国家的水陆联系。 4该投影的性质是接近等面积的任意投影，中国地区 绝大部分面积变形在1
9、0以内，少数地区约20，面积 比为10的等变形线自东向西横贯我国中部；位于中央经 线和南北纬度约44交点处没有角度变形，我国绝大部分 地区的最大角度变形在10以内，小部分地区不超过13。 12.5 正切差分纬线多圆锥投影 该投影是继等差分纬线多圆锥投影之后，我国于 1976年设计的投影之一，它应用于1：1400万世 界地图。 21 公式汇总 投影特点 1纬线投影后为对称于赤道的同轴圆的圆弧，圆心位于中央经线 上；经线是对称于中央经线(直线)的曲线，且远离中央经线其经线间 隔成比例递减，极点表示为圆弧。经纬网的图形有球形感。 2将我国配置于图幅中部，经纬网便会出现重复部分，赤道上经 线的经度差为
10、420，中央经线则为东经120，完整的南北美洲大陆则 位于图幅东部。 3保持太平洋和大西洋完整。 4该投影变形性质为任意投影，世界主要大陆上的轮廓形状没有 显著的目视变形，要求中国的形状比较正确；因此我国绝大部分地区 的面积变形在1020，部分地区达60。位于中央经线和南北纬 度为44交点处没有角度变形，我国大陆部分最大角度变形在6以内。 51：1400万的本投影图廓尺寸为180 x 264厘米。 12.6改良多圆锥投影改良多圆锥投影 1962年前各国主要采用这种投影，它是国际地图 专门委员会1909年在伦敦召开的会议和1913年在 巴黎召开的会议上决定并建议各国采用的。 这种投影是一种任意性
11、质的投影，它利用普通多 圆锥投影的原理实施于多面体投影，再运用一些 改良的方法建立数学基础，故又名改良多圆锥投 影，也常称国际百万分一地图投影。 投影条件 1在纬度060范围内，按纬差4经差6分幅。 在纬度6076范围内，按纬差4经差12分幅。 在纬度7688范围内，接纬差4经差24分幅。 纬度8890为一幅图，并采用极球面投影(等角方位 投影)。 经纬网密度为11，每幅图单独投影。 2各经线均为直线。 3各纬线为同轴圆圆弧，圆心位于中央经线上，半径 。 4南、北边纬线上无长度变形。 5离中央经线2的经线上无长度变形(纬度60以上及 76以上的图幅中无变形经线相应为4和8)。 建立投影过程 1
12、查取中央经线长度H，并作为纵坐标轴。 2查取南、北边缘纬线上经差1、2、3各点 的坐标，并注意到北边纬线上的1、2、3点以O 起算，南边纬线上的1、2、3点以O起算，取同经 差的相应点(如1与1和2与2)的坐标差，用直线简 单内插出中间纬线上各交点的坐标(如1、 )。 3利用坐标仪展出各经纬线交点，并用直线连 结同名经线上相邻点和以光滑曲线连结同名纬线 上相邻点即构成一幅百万分一地图的经纬线网。 变形分析 各图幅中间纬线长度变形可按下式计算i ： n0=100006 (9-3) 式中n0为中间纬线的长度比，故： v0= 00006= 006 各图幅中央经线上的变形为： mc=10000609
13、cos2 (9-4) 式中 为图幅的平均纬度。可见，在赤道上的图幅中央经线的变形最大，为 vc=mc1=0000611= 000061 或vc= 0061 面积变形可近似地表达为： vp2v (9-5) 式中v为一点上沿经线或纬线的长度变形。 角度变形随纬度而变化，纬度愈低变形愈大，但在赤道上的图幅角度变形仍不超过 5，在中等纬度的图幅一般不超过3。 图幅裂缝 由于百万分一地图投影是每幅图单独进行投影 的，所以相邻若干图幅拼接时会产生一定的裂隙。 在实际应用时，因为裂隙尚微小，对地图的使用 影响不大。 我国1956年至1958年编制的百万分一地图采用了 这种投影。 2515cos3.25cos 百万分一等角圆锥投影 1962年联合国于德国波恩举行的世界百万分一国 际地图技术会议通过的制图规范，建议用等角圆 锥投影替代改良多圆锥
