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1、1,自动控制原理,扬州大学信息工程学院电气工程及自动化工程系,2,第八章,非线性控制系统分析,3,第八章、非线性控制系统分析,本章主要内容：一、非线性控制系统概述二、常见非线性特性及其对系统运动的影响三、相平面法四、描述函数法五、非线性控制的逆系统方法,4,本章要求 :1、了解非线性系统的特点2、掌握研究非线性系统相平面法3、掌握研究非线性系统描述函数法4、了解研究非线性系统的逆系统法,第八章、非线性控制系统分析,5,本节主要内容：1、研究非线性控制理论的意义2、非线性系统的特征3、非线性系统的分析与设计方法,一、非线性控制系统概述,6,1、研究非线性控制理论的意义 由于组成控制系统的各元件的
2、动态和静态特性都存在着不同程度的非线性，所以实际上，理想的线性系统并不存在。 以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如下图(a)所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特征如下图所示 (b) ；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如下图所示(c) 。,一、非线性控制系统概述(1),7,一、非线性控制系统概述(2),8,在下图所示的柱形液位系统中，设 为液位高度， 为
3、液体流入量， 为液体流出量， 为贮槽的截面积。根据水力学原理知 其中比例系数 取决于液体的粘度的阀阻。液体系统的动态方程为 显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。,一、非线性控制系统概述(3),9,当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为其中 和 为非线性函数。 当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。,一、非线性控制系统概述(4),10,注意，对于非线性
4、程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。 要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。,一、非线性控制系统概述(5),11,注意：非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计
5、方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用。,一、非线性控制系统概述(6),12,2、非线性系统的特征 线性系统与非线性系统的本质区别：线性系统可以应用线性叠加原理；描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，故非线性系统不能应用叠加原理。 非线性系统的运动主要特点： （1）稳定性分析复杂 A 线性系统的稳定性 按照平衡状态的定义，对于线性系统，只有一个平衡状态 ，线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性，只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。,一、非线性控制系统概述(7),13,B 非线性系统的稳定性 非线性系统可能存在多个平衡状态。先考虑下述非线性一阶系统：令 ，可
6、知该系统存在两个平衡状态 和 ，为了分析各个平衡状态的稳定性，需要求解上式。设 时，系统的初始状态为 ，由上式得当 时，随 增大， 递增； 时， 为无穷大。当 时， 递减并趋于0。不同初始条件下的时间响应曲线如下张图83所示。,一、非线性控制系统概述(8),14,考虑上述平衡状态受小扰动 的影响，故平衡状态 是不稳定的，因为销有偏离， 系统不能恢复至原平衡状态； 而平衡状态 在一定范 围的扰动下（ ）是稳 定的。 由此可见，非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。更重要的是，平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与
7、系统的初始条件有直接的关系。,一、非线性控制系统概述(9),15,（2）可能存在自激振荡现象 线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。考虑下图所示系统，设初始件 ， ，系统自由运动方程为系统自由运动 根据线性叠加原理，在系统运动过 程中，一旦有外扰动则使系统输出 发生偏离，因而上述周期运动将不 能维持。所以线性系统在无外界周期变化信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡。,一、非线性控制系统概述(10),16,考虑著名的范德波尔方程 该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 时，因为 系统具有负阻尼，此时系统从外部获得能量， 的运动呈发散形式；当 时，因为 ，系统具有正阻尼
8、，此时系统消耗能量， 的运动呈收敛形式；而当 时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 的影响，保持幅值为1的等幅振荡，见右图。,一、非线性控制系统概述(11),17,必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙、死区等非线性因素的不良有影响。而在振动试验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。（3）频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有
9、关于 的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。,一、非线性控制系统概述(12),18,3、非线性系统的分析与设计方法 一般情况求在线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。本章重点介绍以下三种方法：（1）相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。（2）描述函数法 描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。,一、非线性控制系统概述(13),19,描述函数法对于满足
10、结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。（3）逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的发展方向。,一、非线性控制系统概述(14),20,1、非线性特性的等效增益 定义非线性环节输出y 和输入x 的比值为等效增益应当指出，比例环节的增益为常值，输出和输入呈线性关系，而上式所示非线性环节的等效增益为变增益，因而可将非线性特性视为变增益比例环节。当然，比例环节是变增
11、益比例环节的特例。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(1),21,1、继电特性 继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常都表现为继电特性，继电特性的等效增益曲线如下图所示。 当输入x趋于零时，等效增益趋于无穷大；由于输出y的幅值保持不变，故当 增大时，等效增益减小， 趋于无穷大时，等效增益趋于零。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(2),22,2、死区特性 一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区的造成的。死区特性的等效增益曲线如下图所示。当时， ；当 ，为 增函数，且随 于无穷时， 趋于 。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(3),23,3、饱和特性 放大器及执行机
12、构受电源电压或功率的限制导致饱和现象，等效增益曲线如下图所示。当输入 时，输出y随输入x线性变化，等效增益 ；当 时，输出量保持常值， 为 的减函数，且随 趋于无穷而趋于零。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(4),24,4、间隙特性 齿轮、蜗轮轴的加工及装配误差或磁滞效应是形成间隙特性的主要原因。如下图所示。间隙特性为非单值函数。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(5),25,5、摩擦特性 摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力阻挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。摩擦力一般表示为三种形式的组合，如图右所示。F1是物体开始运动所需克服的静摩擦力； F2
13、为动摩擦力;第三种摩擦力为粘性摩擦力，与物体运动的滑动平面相对速率成正比。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(6),26,2、常见非线性因素对系统运动的影响 为便于定性分析，采用图下所示的结构形式，图中K 为非线性特性的等效增益，G(s)为线性部分的传递函数，为线性部分的开环根轨迹增益。当忽略或不考虑非线性因素，即K为常数时，非线性系统变为线性系统，因此非线性系统的分析可在线性系统分析的基础上加以推广。非线性因素对系统运动的影响通过增益的变化改变系统的闭环极点的位置，因而仍可采用根轨迹分析法。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(7),27,（1）继电特性 由继电特性的等效增益曲线可知， ，且为 的减函数。对于上图 所示系统，以下讨论两种情况。 取 ，由于闭环系统对于任意 的值均稳定， 将趋于零，由下张图a所示根轨迹可知，由于 的减小， 随之增大，系统闭环极点将沿着根轨迹的方向最终趋于 ，因为实际系统中的继电特性总是具有一定的开关速度，因此 呈现为零附近的高频小幅度振荡。当输入 时，非线性系统的单位阶跃响应的稳态过程亦呈现为 叠加高频小幅度振荡的运动形式。,二、常见非线性特性及其对系统运动的影响(8),28,对于 ，由图b所示，根轨迹与虚轴的交点为 ，交点处根轨迹增益 为30，由此可确定此时继电特性的输入幅值 。,
