第五章 热力学第一定律 5－1.0.020Kg 的氦气温度由 升为 ，若在升温过程中：（1）体积保持不变；（2）压强保持 不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作的功，设氦气 可看作理想气体，且 ， 解：理想气体内能是温度的单值函数，一过程中气体温度的改变相同，所以内能的改变也相同，为： 热量和功因过程而异，分别求之如下： （1）等容过程： V=常量 A＝0 由热力学第一定律， （2）等压过程： 由热力学第一定律， 负号表示气体对外作功， （3）绝热过程 Q＝0 由热力学第一定律 5－2.分别通过下列过程把标准状态下的 0.014Kg 氮气压缩为原体积的一半；（1）等温过程；（2）绝热过 程；（3）等压过程，试分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功，设氮 气可看作理想气体，且 ， 解：把上述三过程分别表示在 P-V 图上， （1）等温过程 理想气体内能是温度的单值函数，过程中温度不变，故 由热一、 负号表示系统向外界放热 （2）绝热过程 由 或 得 由热力学第一定律 另外，也可以由 及 先求得 A （3）等压过程，有 或 而 所以 ＝ ＝ ＝ 由热力学第一定律， 也可以由 求之 另外，由计算结果可见，等压压缩过程，外界作功，系统放热，内能减少，数量关系为，系统放的热等于 其内能的减少和外界作的功。
5－3 在标准状态下的 0.016Kg 的氧气，分别经过下列过程从外界吸收了 80cal 的热量1）若为等温过 程，求终态体积2）若为等容过程，求终态压强3）若为等压过程，求气体内能的变化设氧气可 看作理想气体，且 解：（1）等温过程 则 故 （2）等容过程 （3）等压过程 5－4 为确定多方过程方程 中的指数 n，通常取 为纵坐标， 为横坐标作图试讨 论在这种图中多方过程曲线的形状，并说明如何确定 n 解： 将 两边取对数 或 比较 知在本题图中多方过程曲线的形状为一直线，如图所示 直线的斜率为 可由直线的斜率求 n 或 即 n 可由两截距之比求出 5－5 室温下一定量理想气体氧的体积为 ，压强为 经过一多方过程后体积变为 ， 压强为 试求：（1）多方指数 n；（2）内能的变化；（3）吸收的热量；（4）氧膨胀时对外界 所作的功设氧的 解：（1） 或 取对数得 （2） ＝ 内能减少 （3） （4）由热力学第一定律 也可由 求 5－6 一摩尔理想气体氦，原来的体积为 ，温度为 ，设经过准静态绝热过程体积被压缩为 ，求在压缩过程中，外界对系统所作的功设氦气的 。
解： 由热力学第一定律 5－7 在标准状态下的 氧气，经过一绝热过程对外作功 求终态压强、体积和温度设 氧气为理想气体，且 ， 解：绝热 由热力学第一定律 5－8.0.0080Kg 氧气原来温度为 ，体积为 0.41l，若 （1）经过绝热膨胀体积增为 4.1l； （2）先经过等温过程再经过等容过程达到与（1）同样的终态 试分别计算在以上两种过程中外界对气体所作的功设氧气可看作理想气体，且 解：如图，将两种过程在 图上表示 （1）绝热过程 负号表示系统对外界作功 （2） 等容过程外界对气体不作功 ＝ 5-9.在标准状态下，一摩尔单原子理想气体先经过一绝热过程，再经过一等温过程，最后压强和体积均为原 来的两倍，求整个过程中系统吸收的热量若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果 是否相同？ 解：（1）先绝热压缩再等温膨胀，从态 1 到态 2 如图，对态 2 又，仅等温过程吸热 （2）先等温膨胀再绝热压缩，气体从态 1 到态 2，如图由（1）知 又 ＝ 仅等温过程态 1 到态 4 吸热， ＝8.31×273ln16＝6.3× J 可见，结果与(1)中不同，说明热量是过程量。
5－10.一定量的氧气在标准状态下体积为 10.0l，求下列过程中气体所吸收的热量： （1）等温膨胀到 20.0l； （2）先等容冷却再等压膨胀到（1）所达到的终态设氧气可看作理想气体，且 解：（1）等温膨胀 ＝1.013× ×10× ＝702J （2）先等容冷却在等压膨胀 对 1－2－3 全过程： 则 由热力学第一定律 ＝507J 5－11.图 5－11 中的实线表示一任意形状系统的界面设当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中， 系统总体积增加 dv，而在这过程界面上各均受到与界面垂直的外界对系统所作体积功为 ；若过程 为准静态的，则此功又可表示为 ，其中 P 表示系统内部均匀压强 证：如图，当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，所取面元 ds 移动距离 dl，移动方向与 相反， 所以此微元过程中外界压强 对面元 ds 作的功为 由于 在界面上各处均匀，且在微元过程中可视为不变，则外界对整个系统所作的体积功为 对于无摩擦的准静态过程 故此功又可表为 其中 P 表示系统内部均匀压强 5－13.某气体服从状态方程 ，内能为： 、 为常数试证明，在准静态绝热过程中，这气体满足方程： 常数 其中 证：由热力学第一定律， （1） 由 ， 对准静态绝热过程 则（1）式为 （2） 将 微分 代入（2）式得： 或 （3） 又，该气体有 已知 为常数，则 为常数。
令 则 为常数 代入（3）式 积分得 ＝常数 5－14.在 时水蒸气的饱和气压为 0.029824bar若已知在这条件下水蒸气的焓是 2545.0KJ ， 水的焓是 100.59 KJ ，求在这条件下水蒸气的凝结热 解：在水蒸气凝结为水的等温等压过程中，系统吸收的热量等于其焓的增加，为 ＝H 水－H 气＝100.59－2545.0 ＝－24444.41 KJ 即该条件下水蒸气的凝结热，负号表示水蒸气凝结时放热 5－15.分析实验数据表明，在 1atm 下，从 300K 到 1200K 范围内，铜的定压摩尔热容量 可表示为 其中 a＝2.3× ，b＝5.92， 的单位是〔 〕试由此计算在 1atm 下，当温度从 300K 增加到 1200K 时铜的焓的改变 解：铜在升温过程中压强不变，吸收的热量等于其焓的增加，所以 = ＝ 5－16.设一摩尔固体的物态方程可写作 内能可表示为 其中 a、b、c 和 均是常数试求： （1） 摩尔焓的表达式； （2） 摩尔热容量 和 解：（1） （2） 利用 先将 u 表示为 T，v 的函数 = = = 注意：这道题目出的有毛病，因为由热力学关系可证 但由本题所给条件 =－aT 而－T －p =－aT－bp 显然不满足（ ）式，即本题条件违背热力学基本关系。
5-17 .若把氮气、氢气和氨气都看着作理想气体（p 0）,由气体热力学性质表［９］可查到它们在 298K 的焓值分别为 8669J m0 .试求在定压下氨的合成热氨的合成反应为 ＋ 解：系统在定压下吸收的热量等于其焓的增加，为 = = 即氮的合成热负号表示此合成反应是放热的 5－18.料电池是把化学能直接转化为电能的装置 图 5-18 所示是燃料电池一例 把氢气 和氧气连续通入多 孔 Ni 电极，Ni 电极是浸在 KOH 电解溶液中的（电极的孔径很小，可使电解液因毛细现象而渗入，但氢和 氧气都透不过）负极上的化学反应是，氢与电解液中的氢氧根离于结合，生成离子和水： 电子通过电极跑到外电路去正极上的化学反应是，氧与电解液中的水、电子结合为氢氧子： 这燃料电池反应的总效果是： 若一燃料电池工作于 298K 定压下，在反应前后焓的改变为 两极电压为 试求这燃料电池的效率 解：定压下，1 摩尔氢尔和半摩尔氧化合成 1 摩尔水时吸收的热量为 负号表示实际放出的热量为 每产生 1 个水分子就有两个电子自阴极跑到阳极，因而生成 1 摩尔的水就有 个电子自阴 极跑到阳极每个电子的电量为 库仑，故总电量为 库仑 已知两极间电压为 ，故所作电功为 焦耳 则，这燃料电池的效率为 5－19.大气温度随高度Ｚ降低的主要原因是，低处与高处各层间不断发生空气交换。
由于空气的导热性能 不好，所以空气在升高时的膨胀（及下降时的压缩）可认为是绝热过程若假设过程是准静态的，并注意 到大气达到稳定机械平衡时压强差与高度的关系，证明空气的温度梯度为 其中 p 为空气压强, 、T 分别为紧度与温度， 是空气的 证：所谓“大气达稳定机械平衡”，指重力场中的气体分子在热运动和重力两种互相对立的作用下的平衡， 平衡时分子数密度随高度减小的规律可由玻尔兹曼分布律给出，结合 p=nkT 可得大气压强差与高度差的关 系（等温气压公式）： 微分得， 从 有 代入上式得 （1） 认为一定量的空气上升时经历的过程，是理想气体的准静态绝热膨胀，有 取对数，再微分，有 或 将（1）代入此式得： 即空气的温度梯度 5-20.利用大气压随高度变化的微分公式 证明： 其中 和 为地面的温度和压强，p 是高度 h 处的压强假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程 证：将 dp 表达式中的变量 T 用绝热方程换掉后积分即得证明，具体作法如下： 取一定量空气在地面和高度 z 处两状态，由绝热方程 得 代入 dp 的表达式中，得 或 积分 整理 而 所以 5-21. 图 5-21 有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分 A 和 B，其中各盛 有一摩尔的理想气体氮。
今将 80cal 的热量缓慢地同底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 1.00atm, 求 A 部和 B 部温度的改变以及各吸收的热量(导热板的热容量可以忽略). 若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板,重复上述讨论. 解：(1)导热板位置固定经底部向气体缓慢传热时，A 部气体进行的是准静态等容过程，B 部进行的是准表 态等压过程由于隔板导热，A、B 两部气体温度始终相等，因而 =6.7K =139.2J （2） 绝热隔板可自由滑动 B 部在 1 大气压下整体向上滑动，体积保持不变且绝热，所以温度始终不变 A 部气体在此大气压下吸热膨胀 5-22. 图 5-22 所示是一种测定 =CP/CV的装置经活塞 B 将气体压入营容器 A 中，使压强略高于大气压 （设为 P1）然后迅速开户再关闭活塞 C，此时气体绝热膨胀到大气压 P0经过一段时间，容器中气体的 温度又恢复到与室温相同，压强变为 P2，假设开启 C 后关闭 C 前气体经历的是准静态绝热过程，试定出求 的表达式 解：由于 P1略大于 P0，当开启 C 后，将有一部分气体冲出容器 A，把仍留在 A 中的气体作为研究对象， 则从开户 C 后到关闭 C 前，系统经历准静态绝热膨胀过程，由状态 1（P1，T0）到状态 2（P0，T2）；从关 闭 C 到留在 A 的气体恢复室温，系统经历准静态等容吸热过程，由状态 2（P0，T2）到状 3（P2，T0）。
两 过程可表示如图 绝热过程中 等容过程中 取对数整理得： 5－23.如图 5-23，瓶内盛有气体，一横截面为 A 的玻璃管通过瓶塞插入瓶内玻璃管内放有一质量为 m 的 光滑金属小球（象一个活塞）设小球在平衡位置时，气体体积为 V，压强 为 P=P0+ （P0为大气压 强）现将小球稍向下移，然后放手，则小球将以周期 T 在平衡位置附近振动假定在小再教育上下振动的 过程中，瓶内气体进行的过程可看作准静态过程，试证明： （1）使小球进行简谐振动的准静态弹性力为 这里 =CP/CVy 为位移 （2）小球进行简谐振动的周期为 （3）由此说明如何利用这些现象测定 证：（1）取 Y 坐标原点在小球平衡位置处，向下为正小球所受的大气压力和重力始终为 P0A+mg，方向 向下在平衡位置处，小球所受合力为零，有 (1) 其中 pA 为小球在平衡位置时，瓶。