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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.A本题考查集合的运算.由3-2x0得x32,则B=xx32,所以AB=xx32,故选A.2.B本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.方法总结样本的平均数体现的是样本数据的平均水平,样本的方差和标准差体现的是样本数据的稳定性.3.C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.4.B本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色
2、部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=222=8,故选B.5.D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.PFx轴,P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),|AP|=1,APPF,SAPF=1231=32.故选D.6.A本题考查线面平行的判定.B选项中,ABMQ,且AB平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;C选项中,ABMQ,且AB平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;D选项中,ABNQ,且AB平面MNQ,NQ平面MNQ,则AB平面MNQ.故选A.方法总结线面平行的判定方法
3、:(1)线面平行的判定定理;(2)面面平行的性质定理.7.D本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax =3,故选D.一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),32,12,分别代入目标函数z=x+y,得到zmax =3.8.C本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx为奇函数,图象关于原点对称,故排除B选项;sin 2sin 120=32,cos 1cos 60=12,则f(1)=sin21-cos1=3,故排除A选项; f()=sin21-cos =0,故排除D选项,故
4、选C.方法总结已知函数解析式判断函数图象的方法:(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复.9.C本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0x1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在ABC中,si
5、n B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34.由asinA=csinC得222=2sinC,sin C=12,又0C4,C=6,故选B.方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sin B=sin(A+C)
6、的应用.12.A本题考查圆锥曲线的几何性质.当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-3,0),B(3,0),M(0,1).图(1)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,m),B(0,-m),M(3,0)图(2)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即m3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.易错警示在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在
7、的坐标轴.二、填空题13.答案7解析本题考查向量数量积的坐标运算.a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.14.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.y=x2+1x,y=2x-1x2,y|x=1=2-1=1,所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案31010解析因为0,2,且tan =sincos=2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =255,cos =55,则cos-4=cos cos 4+sin sin 4=5522+25522=31010.易错警示在
8、求三角函数值时,常用到sin2+cos2=1和tan =sincos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.16.答案36解析由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=2R.连接OA,OB,则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所以OAOB,则AB=2R,所以ABC是边长为2R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1平面ABC,CO1=23322R=63R,则OO1=R2-63R2=33R,则VS-ABC=2VO-ABC=2133
9、4(2R)233R=13R3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4R2=36.三、解答题17.解析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.方法总结等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.通项公式
10、:an=a1+(n-1)d.前n项和公式:Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d.(2)等比数列:递推关系式:an+1an=q(q0),常用于等比数列的证明.通项公式:an=a1qn-1.前n项和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q1).(3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b或等比中项:ac=b2来证明.18.解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平
11、面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.方法总结1.面面垂直的证明证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面.2.线面垂直的证明(1)证明直线l垂直于平面内的两条相交直线.(2)若已知两个平面
12、垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.3.几何体的体积柱体的体积V=S底h.锥体的体积V=13S底h.4.几何体的表面积直棱柱的侧面积S侧=C底l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.19.解析本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差.(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数为r=i=116(xi-x)(i-8.5)i=116(xi-x)2i=116(i-8.5)2=-2.780.2121618.439-0.18.由于|r|0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x=9
13、.97,s0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-1510.022)0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09.方法总结样本的数字特征.(1)样本数据的相关系数r,r=i=1n(xi-x
14、)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,反映样本数据的相关程度,|r|越大,则相关性越强.(2)样本数据的均值反映样本数据的平均水平;样本数据的方差反映样本数据的稳定性,方差越小,数据越稳定;样本数据的标准差为方差的算术平方根.20.解析本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)
