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1、 第 1 页（ 共 6 页） 专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名： 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类，2011） （非数学类，2011） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 总分 满 分 24 16 15 15 15 15 100 得 分 注意：注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关
2、标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、 （本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）计算下列 各题（要求写出重要步骤）. (1) 2 2 0 (1)(1 ln(1) lim. x x xex x (2) 设 2 coscoscos, 222 n n a 求lim. n n a 得得 分分 评阅人评阅人 第 2 页（ 共 6 页） (3) 求sgn(1) D xydxdy ，其中( , )|02, 02Dx yxy (4) 求幂级数 22 1 21 2 n n n n x 的和函数，并求级数 21 1 21 2 n n
3、n 的和. 第 3 页（ 共 6 页） 专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名 二、 （本题共16分）设 0 nn a 为数列，, a为有限数，求证： (1) 如果lim n n aa ，则 12 lim n n aaa a n . (2) 如果存在正整数 p，使得lim() npn n aa ，则 lim n n a np . 三、 （本题共15分）设函数( )f x在闭区间1, 1上具有连续的 三阶导数，且10f ()，11f( )，00 f ( ). 求证：在开区间 1, 1内至少存在一点 0 x ，使得 0 3fx(). 得得 分分 评阅人评阅人 得得 分分 评阅人评
4、阅人 第 4 页（ 共 6 页） 四、 （本题共15分）在平面上, 有一条从点)0 ,(a向右的射线, 其线密度为. 在点), 0(h处 （其中 h 0） 有一质量为m的质点. 求射线对该质点的引力. 得得 分分 评阅人评阅人 第 5 页（ 共 6 页） 专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名 . 五 、（ 本 题 共15分 ） 设( , )zz x y是 由 方 程 11 (,)0F zz xy 确定的隐函数，其中F具有连续的二阶 偏导数，且( , )( , )0 uv F u vF u v.求证： 22 0 zz xy xy 和 222 33 22 ()0 zzz xxy xyy xx yy . . 得得 分分 评阅人评阅人 第 6 页（ 共 6 页） 第 7 页（ 共 6 页） 六、 （本题共 15 分）设函数)(xf连续，cba,为常数， 是单位球面 1 222 zyx. 记第一型曲面积分 dSczbyaxfI)(.求证： 1 1 222 )(2duucbafI. 得得 分分 评阅人评阅人
