《山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第10章三角形的内切圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第10章三角形的内切圆（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第10章 三角形的内切圆三角形的内切圆中，有一系列有趣的结论，它们在处理有关问题中常常发挥着重要的作用性质 三角形内切圆与边的切点及这条边所在直线和另两切点所在直线的交点内分、外分该边的比相等证明 如图，设，分别为的内切圆与边，的切点，又设直线与直线交于点，则对及截线应用梅涅劳斯定理，有注意到，即有注：，内分、外分所成的比相等时，亦称为，调和分割若时，则为无穷远点，此时为的中点，也认为是内分、外分所成的比相等性质 三角形的顶点和对边上的内切圆切点的连线与内切圆的交点以及三个切点为顶点构成的圆内接四边形，对边的乘积相等证明 如图，设，分别为的内切圆与边，的切点，交内切圆于点，则由，有，此两式相除
2、，并注意到，有，即注：对边乘积相等的圆内接四边形，亦称为调和四边形，图中，若，分别交内切圆于，则四边形，四边形均为调和四边形性质 的内切圆分别切，边于点，直线交内切圆于点，交于点，则，调和分割证明 如图，设为内切圆圆心，联结交于，则，有，即知，四点共圆，从而，即知平分的外角而，即知平分于是有，即，调和分割注：过作内切圆的割线交内切圆于，（不一定是切点），交切点弦于点，同上述证法也推证得，调和分割性质 的内切圆分别切，边于点，直线交内切圆于点，直线，分别交内切圆于点，直线，分别交内切圆于，则：（1），三线共点；（2）四边形为调和四边形；（3），三线共点；（4），三线共点证明 如图，（1）注意到圆
3、内接四边形，均为调和四边形，有，此两式相乘，得于是，由第一角元形式塞瓦定理的推论（参见第22章），即知，三线共点（2）设，三线共点于，由，有同理从而同理又，则故四边形为调和四边形（3）由，有同理，有注意到有，这三式相乘，得于是，由塞瓦定理的逆定理，即知，三线共点（4）由，有同理，上面七式相乘，并注意，得，由此式即知，三线共点同理，三线共点，故，三线共点性质 的内切圆分别切，边于点，直线交内切圆于点、，则，分别为的内心和旁心证明 如图，联结，则由对称性知，即有又，即知平分于是，知点为的内心联结，则知，即知平分么故知点为的旁心性质 三角形一内角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是另一顶
4、点关于内切圆的切点弦直线与这条内角平分线的交点证明 如图，在中，内切圆分别切，边于点，分别为三条内角平分线下面先证直线上的点，有三点共线充分性由，共线，联结，则，于是，四点共圆，即有，故必要性由，联结，知，四点共圆又为内心，知，则由，知，故，三点共线类似地，有直线上的点，三点共线，直线上的点，三点共线直线上的点，三点共线，直线上的点，三点共线直线上的点，兰点共线，在图中，设为的中点，联结交于点，则由知为斜边上的中线，由此即推知，即知为的中点联结交于，也可证为的中点，即与重合，由此即知，在与平行的的中位线上于是可得如下结论推论 三角形的一条中位线，与平行于此中位线的边的一端点处的内角平分线及另一
5、端点关于内切圆的切点弦直线，这三条直线相交于一点，且该点为与中位线对应的顶点在这条内角平分线上的射影性质 的内切圆切边于点，为的中点，是边上的高，为上的一点，则等于内切圆半径的充分必要条件是，三点共线证明 如图，充分性当，共线时，令，则，联结，由，有又，有于是，故必要性当时，则设直线交于（当时），则由有即有，亦即从而与重合，故，三点共线性质 设的内切圆切边于点，为延长线上一点，直线交于点，则的充要条件是点在上证明 如图，过作交于点，交于点充分性当在上时，则知切于点易知由于在内它们的旁切圆分别为与，则在以为中心的位似变换下，使变为，此时切点变为切点，即为直线与的交点于是，（其中，）必要性当时，即
6、为的的旁切圆的切点，由，则存在以为中心的位似变换，将上的点变为上的点，且为的的旁切圆的切点注意到，则知在过与垂直的直线上，从而与重合，故点在上推论 设为的边上一点，则为内的旁切圆的切点的充要条件是性质 设的内切圆分别切，边于点，设是延长线上一点，的延长线交于点，则为的中点的充要条件是点在线段上证明 如图，过点作交于点，交于点，则联结，充分性当点在上时，注意到，及，分别四点共圆，有，即知为等腰三角形注意到，知为的中点由于，则知为的中点必要性当为的中点时，则知为的中点由于，则知，从而，即有注意到，及，分别四点共圆，有于是，三点共点，即点在线段上推论 设的内切圆切边于点，为边的中点，为边上一点，则为
7、内的旁切圆的切点的充分必要条件是事实上，参见图，证充分性时，过点作交于点，证点在上即可证必要性时，延长交于点，作直线交于，证明性质 的内切圆分别切，边于点，边上的高交于点，则为的垂心的充要条件是证明 如图，联结，充分性当时，设直线与直线交于点，由性质，知，调和分割，则，为调和线束，由其性质知当时，平分，于是可得作点关于的对称点，则在上联结，则，从而，四点共圆，于是，即有，从而知故为的垂心必要性当为的垂心时，由，知，于是，从而即知平分，即，故知（或由平分，及，调和分割，即知有见（第15章）注：可由，有，即知平分性质 设的内切圆分别切，三边于点，令，内切圆半径为，则（1），；（2），（证略）性质
8、设的内切圆的圆心为，的外接圆分别和射线，交于点，则与相切证明 如图，显然，五点共圆对于图，有，而，从而由于与相切，由对称性，知也与相切对于图（2），注意，而，从而因与相切，故也和相切性质 设的内切圆分别切，边于点，记以为圆心，为半圆的圆为叫，直线交圆于点，点在圆上，则为圆的直径的充要条件是，三点共线证明 如图，注意到、均为等腰三角形，且底角相等，则知其顶角相等，即，从而于是，为圆的直径，注意到、均为等腰三角形其对应底角相等，即三点共线推论 设的内切圆分别切，边于点，直线，分别交过点且与平行的直线于点，直线交内切圆于点，则，且事实上，由并注意到图中的等腰三角形即得；由知，四点共圆，有同理由此即可
9、得性质 设的内切圆分别切，边于点，为劣弧上一点，过点作内切圆的切线与所在直线交于点，则，三点共线的充要条件是，三点共线证明 充分性当，共线时，如图，联结交于点，则联结，则，即注意到公用，则，即有 联结，则，从而，知，四点共圆又，四点共圆，从而，五点共圆，于是，即由，可知，三点共线必要性当，三点共线时，如图，联结交于点，则类似于充分性证明，由，可证得，四点共圆又、四点共圆，即有，即故、三点共线性质 设的内切圆为，点，依次为上三点（点在优弧上，且与，不共线），与交于点，且为的中点，则为与的切点（或为与的切点）的充要条件是证明 如图，显然充分性当时，有，即有于是，注意到公用，则，即知所以与切于点，且
10、为过定点与右侧相切的直线，而这样的直线是唯一的，所以为与相切的切点同理，为与的切点必要性当为与的切点时，则由对称性（即为中点）知必为与的切点，反之亦真此时，显然有，即有性质 设的内切圆分别切，边于点，点在线段上，则的充要条件是证明 如图，联结，充分性当时，注意到，则有又，从而于是，且由角平分线性质定理的逆定理，知平分从而，故必要性当时，若，则为等腰三角形，结论显然成立若，则可设直线与直线交于点，如图注由性质，有过点作交直线于点，交直线于点，则，且，即有由等腰三角形性质，知平分，即有又，所以故性质 设的内切圆分别切，边于点，直线交于点，若直线与直线交于点，则证明 如图，由性质，有联结，过点作交于
11、点，交直线于点，则从而为的中点，过点作交于点，交于点，则知为的中点，即于是，故推论 设的内切圆分别切，边于点，直线交内切圆于点，过点作内切圆的切线分别与直线，交于点，则证明 如图，由性质，知，三点共线设直线与交于点，则由性质，知过点作交直线于点，交直线于点，则由上即知为的中点，过点作交直线于点，交直线于点，则知为的中点，即，于是故注：特别地，设与交于点，则对，应用上述性质，亦有对及截线应用梅涅劳斯定理也可推证推论推论 设的内切圆分别切，边于点，联结交内切圆于点，过作内切圆的切线分别与直线，交于点，则直线，共点证明 如图，当时，则推知为等腰三角形，此时结论显然成立为时，可设直线与直线交于点于是，
12、由性质，知，三点共线由性质，知有又由推论，知设交于点，交于点，则对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，于是，由上式知与重合，故直线，共点注：性质及推论中的结论，应用线段的调和分割性质证明更简捷（参见第15章）性质 设的内切圆分别切，边于点，直线交于另一点，直线交边于点，点在边上，与交于点，则的充要条件是证明 如图，由性质，即知兖分性当时，此时应用正弦定理，有过点作交于点，交于点，则为的切线设，分别为、在内的旁切圆半径，为的面积，则于是，将代入式得从而故必要性当时，即有对及截线应用梅涅劳斯定理，有即有从而再注意到式，有故性质 设的内切圆分别切，边于点，直线，分别与直线，交于点，则，三点共线
13、证明 若，则视为无穷远点，时，也视，三点共线当时，如图分别对及截线，对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理，有，注意到，上述三式相乘，得对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，三点共线注：、三点所在的直线称为莱莫恩（）线性质 三角形外心、内心及内切圆切点三角形的重心三点共线证明 如图，设，分别为的外心和内心，切边，分别于点，点为的重心联结并延长交于点，交于点，则为劣弧的中点，且在的中垂线上，垂直平分联结，则由，知，且由内心性质，知令，则设的半径为，直线与交于点，则从而知为的重心，即与重合故，三心共线下面给出上述性质应用的一些例子例 （2006年福建竞赛题）如图，为的外接圆，分别为中线和角平分线，过点，的的切线相交于点，联结与和分别相交于点，求证：点是的内心证明 如图，过点的切线与，的延长线交于点，由性质知，四边形为调和四边形，有注意到托勒密定理，有，即，亦即而，从而即知于是，知平分又由性质，知，调和分割，在调和线柬，中，由于，即知平分故点是的内心例 （20
