《第8章多元函数微分法及其应用 习题8- (6)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8章多元函数微分法及其应用 习题8- (6)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第六节 多元函数微分学的应用 习题 8-6 1. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程: (1) 2 sinxat=, sin cosybtt=, 2 coszct=, 4 t =处; (2) 2 , yx zx=, 点(1,1,1)处; (3) 222 6, 0, xyz xyz += += 点(1, 2,1)处. 解 (1) 因为 d 2sin cossin2 d x attat t =, 22 d (cossin)cos2 d y bttbt t =, d 2cos( sin )sin2 d z cttct t = = , 而参数 4 t =对应的曲线上点为(,) 2 2 2 a
2、b c , 于是曲线在该点的切向量为 ( ,0,)ac=T, 所以，所求切线方程为 222 0 abc xyz ac = ， 法平面方程为 ()()0 22 ac a xc z=, 即 22 0 22 ac axcz+=. (2) 令xt=, 则所给曲线方程为xt=, yt=, 2 zt=. 因为 ddd 1,1,2 ddd xyz t ttt =, 而点(1,1,1)所对应的参数1t = , 于是曲线上点(1,1,1) 处的切向量为 (1,1,2)=T, 所以, 所求切线方程为 111 112 xyz =, 法平面方程为 2 (1)(1)2(1)0xyz+=, 即240xyz+=. (3)
3、法1 将所给方程的两边对x求导, 得 dd 2220, dd dd 10, dd yz xyz xx yz xx += += 移项整理, 得 dd , dd dd 1. dd yz yzx xx yz xx += += 在0 11 yz Dyz=的条件下, 解方程组求得 11d d xz yzx xDyz = , 11d d yx zxy xyzyz = , (1, 2,1) d 0 d y z =, (1, 2,1) d 1 d z x = , 从而曲线上点(1, 2,1)处的切向量为 (1,0, 1)=T, 故所求切线方程为 121 101 xyz+ = , 法平面方程为 (1)0 (2)
4、(1)0xyz+=, 即0xz=. 法2 曲面 222 6xyz+=, 即 222 60xyz+=上点(1, 2,1)处的法向量为 1(1, 2,1) (2 ,2 ,2 )(2, 4,2)xyz =n n. 同理, 曲面0xyz+=上点(1, 2,1)处的法向量为 2 (1,1,1)=n n, 于是曲线上点(1, 2,1)处的切向量为 12 242666(1,0, 1) 111 = += ijk Tiknnnn, 3 故所求切线方程为 101 101 xyz = , 法平面方程为 (1)0 (2)(1)0xyz+=, 即0xz=. 2. 求下列曲面在给定点处的切平面和法线方程: (1) 2 8
5、5zxxyx=+, 点(2, 3,1)处; (2) 2 xyz=, 点（ 000 ,)xyz处. 解 (1) 令 2 ( , , )85F x y zzxxyx=+, 则 82 x Fyx= +, y Fx= ,1 Z F= . 于是点(2, 3,1)处的法向量为 (2, 3,1) ( 82 , , 1)( 1, 2,1)(1,2, 1)yxx = += = n, 所以在点(2, 3,1)处此曲面的切平面方程为 (2)2(3)(1)0xyz+=, 即250xyz+=, 法线方程为 231 121 xyz+ = . (2) 令 2 ( , , )F x y zxyz=, 则 , , 2 xyz
6、Fy Fx Fz= , 于是点 000 (,)xyz处的法向量为 000 (,)000 ( , , 2 )(, 2) xy z y xzyxz=n, 所以在点 000 (,)xyz处此曲面的切平面方程为 000000 ()()2()0yxxxyyzzz+=, 即 000 20y xx yz z+=, 法线方程为 4 000 000 2 xxyyzz yxz = . 3. 求曲线 23 , , xt ytzt=上的点 0 M，使该点的切线平行于平面 24xyz+=. 解 因为 2 ddd 1, 2 , 3 ddd xyz tt ttt =, 设所求点 0 M对应的参数为 0 t , 于是曲线在
7、该点处的切向量可取为 2 00 (1, 2 , 3 )tt=T, 已知平面的法向量(1,2,1)=n, 由切线与平面平行, 有 0=T n, 即 22 0000 (1, 2 , 3 ) (1,2,1)1430tttt= +=, 得由上式可解得 0 1t = 和 0 1 3 t = ， 于是所求点 0 M为( 1,1, 1)或 1 11 (,) 3 927 . 4. 求椭球面 222 2321xyz+=的平行于平面460xyz+=的切平面. 解 设点( , , )x y z为椭球面上任一点, 则该点处切平面的法向量为 (2 ,4 ,6 )xyz=n, 已知平面的法向量为 1 (1,4,6)=n
8、n. 因为所求切平面与已知平面20xyz+=平行, 可知 1 /nn, 于是有 246 146 xyz =, (1) 又因为点( , , )x y z在椭球面上，应满足椭球面方程 222 2321xyz+=, (2) 由式(1)及式(2)可求得两点(1,2,2)和( 1, 2, 2) , 上述两点即为所求切点, 它们所对 应的切平面的法向量分别为(2,8,12)和( 2, 8, 12), 所以所求的切平面方程为 2(1)8(2)12(2)0xyz+=和2(1)8(2)12(2)0xyz+=, 即 4621xyz+=和4621xyz+= . 注意 常见的错误是由 1 /nn, 得到21, 44,
9、 66xyz=,于是切点为 1 (,1,1) 2 . 必须注意, 上述解法错在混淆了向量相等与向量平行这两个概念. 两平面平行, 则 5 两平面的法向量平行, 从而法向量的对应坐标成比例, 而不是相等. 5. 在椭球面 222 222 1 xyz abc +=上求点 0 M , 使该点的法线与坐标轴成等角. 解 设点 0 M的坐标为 000 (, , ,)xyz, 椭球面在该点的法向量为 000000 222222 222 (,)2(,) xyzxyz abcabc =n, 法向量n的方向余弦为 0 2 222000 222 cos ()()() x a xyz abc = + , 0 2 2
10、22000 222 cos ()() y b xyz abc = + , 0 2 222000 222 cos ()()() z c xyz abc = + , 由于 0 M点的法线与坐标轴成等角, 所以 coscoscos=, 即有 000 222 xyz abc =, (3) 又因为点 0000 (,)Mxyz在椭球面上, 应满足椭球面方程 222 000 222 1 xyz abc += , (4) 由式(3)及式(4)可求得 2 0 222 a x abc = + , 2 0 222 b y abc = + , 2 0 222 c z abc = + , 所以所求点 0 M的坐标为 2
11、22 222 1 (,)abc abc+ 和 222 222 1 (,)abc abc + . 6. 证明: 与锥面 222 zxy=+相切的平面通过坐标原点. 证 法1 设( , , )x y z为锥面上任一点, 则该点处的法向量为 (2 ,2 , 2 )2( , ,)xyzx yz=n, 该点处的切平面为 ()()()0x Xxy Yyz Zz+=即0xXyYzZ+=, 6 显然这切平面通过原点. 法2 要证曲面的任一切平面通过坐标原点, 只须证明任一点的切平面的法向 量与该点的向径垂直. 锥面上任一点( , , )x y z处的切平面的法向量为( , ,)x yz=n, 该点的向径为 (
12、 , , )x y z=r. 因 222 0xyz=+=n r, 从而切平面经过坐标原点. 7. 证明: 曲面 (0)xyzaa+=上任何点处的切平面在各坐标轴上 的截距之和为常数. 证 设点( , , )x y z为曲面上任意一点, 则该点处的法向量为 111 (,) 222xyz =n, 该点处的切平面为 111 ()()()0 222 XxYyZz xyz +=, 即 XYZ xyz xyz +=+. 由于点( , , )x y z是曲面上的点,故xyza+=, 切平面方程又可写成 XYZ a xyz +=, 化成截距式 1 XYZ axayaz +=, 所以截距之和为 2 ()()ax
13、ayazaxyzaa+=+=. 注意 容易出现的问题是, 在写出切平面方程 111 ()()()0 222 XxYyZz xyz += 后, 没有利用点( , , )x y z在曲面上, 将切平面方程化简为 XYZ a xyz +=, 致使后面的运算过于繁杂. *8. 利用全微分求下述各数的近似值: (1) 2.02 (1.04); (2) sin29 tan46 ?. 7 解 (1) 设( , ) y f x yx=, 显然, 要计算的值就是函数在1.04, 2.02xy=时的 函数值(1.04,2.02)f. 取1,2,0.04,0.02xyxy= = =, 由于 (1,2)1f= , 1
14、 ( , ) y x fx yyx =, ( , )ln y y fx yxx=, (1,2)2 x f=, (1,2)0 y f=, 应用公式(,)( , )( , )( , ) xy f xx yyf x yfx yxfx yy+ + + +， 便有 2.02 (1.04)120.0400.021.08 +=. (2) 设( , )sintanf x yxy=, 显然, 要计算的值就是函数在 29 6180 x = ? , 46 4180 y =+ ? 时的函数值(29 ,46 )f ? . 取 , 64180180 xyxy= = =, 由于 1 (,)sintan10.5 6 4642
15、 f= =, ( , )cos tan x fx yxy=, 2 ( , )sin sec y fx yxy=, 3 (,)costan 6 4642 x f=, 2 1 (,)sinsec21 6 4642 y f= , 应用公式(,)( , )( , )( , ) xy f xx yyf x yfx yxfx yy+ + + + , 便有 3 sin29 tan460.5()1 2180180 + + ? 0.50.01510.01740.5023+=. *9. 设圆锥体的底半径R由30cm增加到30.1cm , 高H由60cm减少到59.5cm , 试求圆锥体体积变化的近似值. 解 设圆锥体的体积为V , 则有 2 1 3 VR
