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1、算符即运算规则。它作用在一个函数(x)上即是对(x)进行某 种运算，得到另一个函数(x) 算符即运算规则。它作用在一个函数(x)上即是对(x)进行某 种运算，得到另一个函数(x) 一、算符的一般概念一、算符的一般概念 1-3 量子力学中的力学量和算符1-3 量子力学中的力学量和算符 例 ：例 ： )()( xxF= )()(xxfxf x= )()( xfxf I= dx d D = 1、定义1、定义 0)(0 =xf 2、乘法与对易2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律 : 算符的乘法一般不服从交换律 : ) ( BABA ABBA 例如 : 例如 : CBACBA ) () ( = 算
2、符的乘法服从结合律 : 算符的乘法服从结合律 : )( )()()( xxfxfxxf dx d xf xD+= )( )( xxfxfDx= DxDxIxD += 则算符的对易式可记为：则算符的对易式可记为： 若对任意，都有 ：若对任意，都有 ： 则称和对易 : 则称和对易 : 引入记号 : 引入记号 : ABBA = A B , BAABBA 0 , =BA IxD , = ? ipx x = , 易证 :易证 : 可定义算符的n次方为 ：可定义算符的n次方为 ： AAAAn = 可定义算符的多项式和算符的函数。例如 ：可定义算符的多项式和算符的函数。例如 ： = n n A n A e
3、! 3、线性算符3、线性算符 设设 C1 , C2为常数，若算符满足 ：为常数，若算符满足 ： 则称其为线性算符。则称其为线性算符。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如，下列算符为线性算符：例如，下列算符为线性算符： 22112211 )( +=+FCFCCCF x pH yxx , , 2 算符的本征值方程 :算符的本征值方程 : 4、本征函数、本征值4、本征函数、本征值 为算符的本征值，为算符的本征值为的本征函数。为算符的本征值，为算符的本征值为的本征函数。 例如 ，e例如 ，e2x 2x 是微商算符的本征函数 ：是微商算符的
4、本征函数 ： )()( xxF= )(x F F F xxx ee dx d eD 222 2 = 定态薛定谔方程 ：定态薛定谔方程 ： 它是哈密顿算符的本征方程，波函数它是哈密顿算符的本征方程，波函数 是哈密顿算符的本 征函数，能量 是哈密顿算符的本 征函数，能量E E是哈密顿算符的本征值。是哈密顿算符的本征值。 定理：线性算符的简并本征函数的线性组合仍是该算符属于同 一本征值的本征函数。 定理：线性算符的简并本征函数的线性组合仍是该算符属于同 一本征值的本征函数。 例如：例如： EH= )( )( 221122112211 +=+=+CCFCFCCCF 则：则： 2211 , =FF 一个
5、算符如果满足如下关系，则称为厄米算符：一个算符如果满足如下关系，则称为厄米算符： 其中积分遍及整个空间，函数其中积分遍及整个空间，函数, , 是任意的品优函数。是任意的品优函数。 动量算符是厄米算符 ：动量算符是厄米算符 ： 5、厄米、厄米(Hermite)算符算符 dFdF * * ) ( = = + + + dx dx d idx dx d i)(|)( * ? + =dx dx d i * )(? x * )( + = dx dx d i * )(?= + 定理：若两个厄米算符和对易，即， 则乘积算符是厄米的 。 定理：若两个厄米算符和对易，即， 则乘积算符是厄米的 。 证明：证明： 考
6、虑积分考虑积分 假如是厄米算符，按照定义有: 假如是厄米算符，按照定义有: 即必有：即必有： 比较上两式，有：比较上两式，有： BA A ABBA =B dABdBAdBA * * ) ( ) () ( = dBAdBA * * ) () ( = dBAdAB * ) () ( = ABBA = BA 可以证明，量子力学中的力学量算符都是厄米的 。可以证明，量子力学中的力学量算符都是厄米的 。 例如：例如： 易证：厄米算符乘上实常数仍为厄米算符，厄米算符之和仍为厄 米算符。 易证：厄米算符乘上实常数仍为厄米算符，厄米算符之和仍为厄 米算符。 )( rV ? r ? 2 p m p T 2 2
7、= VTH += 狄拉克符号 ：狄拉克符号 ： 厄米算符的定义 ：厄米算符的定义 ： 归一性 ：归一性 ： 正交性 ：正交性 ： |)(r ? |)( * r ? 1|= 0|= (bra) (ket) |)()( * drr ? | | |)( )( * FFdrFr ? * | |=FFF 二、厄米算符的本征函数、本征值的性质二、厄米算符的本征函数、本征值的性质 1、定理（1）：厄米算符的本征值是实数。1、定理（1）：厄米算符的本征值是实数。 证：证： 由厄米算符性质 ：由厄米算符性质 ： 所以 ：所以 ： =F =| |F =| )(| | * FF 逆定理：如果算符的所有本征值都是实数
8、，则该算符一定是厄米算 符。 逆定理：如果算符的所有本征值都是实数，则该算符一定是厄米算 符。 * = 2. 本征函数正交性2. 本征函数正交性 定理（2）：厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交。定理（2）：厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交。 证明：本征值方程为：证明：本征值方程为： 则：则： 但：但： mmm F= nnn F= = nmnnm F| | = = nmmnmm nmmnmnm FF | | | * 0|)(= nmnm 因：因： 故必有 ：故必有 ： 所以必有 ：所以必有 ： 0|= nm nm 3、完备性3、完备性 定理（3）：厄米算符本征函数构成一完备集合，任
9、何一个品 优函数可用它展开： 定理（3）：厄米算符本征函数构成一完备集合，任何一个品 优函数可用它展开： n n n Cf = fdtC nn = * 其中展开系数:其中展开系数: 例如：一维势箱（例如：一维势箱（0,a）的定态波函数：）的定态波函数： 正交归一性：正交归一性： 完备性：完备性：( (0,a) )上的任一具有边界条件上的任一具有边界条件f(0)=f(a)=0的品优函数的品优函数 f(x) 可以用展开 ：可以用展开 ： ?, 2 , 1,sin 2 =nx a n a n dxx a nm x a nm a dx a n a m )( cos )( cos) 2 1 ( 2 00
10、 * + = mn a dxx a nm a = = 0 )( cos) 2 1 ( 2 0 = = 1 )( n nn Cxf 付氏展开付氏展开 = a nn dxxfC 0 * )( 展开系数为 ：展开系数为 ： ,.2 , 1=n n 三. 表示力学量的算符三. 表示力学量的算符 1、坐标和动量1、坐标和动量 坐标算符 ：坐标算符 ： 动量算符 ：动量算符 ： rr zzz yyy xxx ? = = = = = = = = ? ? ? ? ? ip z ipp y ipp x ipp zz yy xx z k y j x i + + = ? 2、其他力学量2、其他力学量 经典力学量子力
11、学经典力学量子力学 动能动能 势能势能 角动量角动量 m p T 2 2 = 2 2 2 = m T ? )(rV ? )( rV ? prL ? ? =)( =? ? ? irL 对于量子力学中无经典对应的力学量，需要定义新算符（例如 自旋算符）。 对于量子力学中无经典对应的力学量，需要定义新算符（例如 自旋算符）。 对于有经典对应的力学量：对于有经典对应的力学量： ),(prF ? ),( =? ? irFF 四. 力学量测量值四. 力学量测量值 1、关于力学量测量值的基本假定1、关于力学量测量值的基本假定 量子力学公设4： (1) 引入力学量 量子力学公设4： (1) 引入力学量 F 相
12、应的线性厄米算符，力学量相应的线性厄米算符，力学量 F 的测量 值只能是算符的本征值之一； (2) 体系的波函数 可按的正交归一的本征函数集 的测量 值只能是算符的本征值之一； (2) 体系的波函数 可按的正交归一的本征函数集n 展开： 为对力学量F测量时， 展开： 为对力学量F测量时，n 对应的本征值对应的本征值 n n 出现的相 对几率。 出现的相 对几率。 F F F = n nn C =| nn C 2 | n C 说明: 说明: ()展开是唯一的。()展开是唯一的。 ()若 是的本征态，则 F 有确定值（本征值）。()若 是的本征态，则 F 有确定值（本征值）。 ()若 不是的本征态
13、，则F没有确定值（固定值），但测量 值出现的几率是确定的。 ()若 不是的本征态，则F没有确定值（固定值），但测量 值出现的几率是确定的。 () 是量子力学体系的完全描述： （可以知道对体系的某一力学量测量时，对应的本征值出现的 几率，所以波函数从统计的意义上提供了对体系的完全描述）。 () 是量子力学体系的完全描述： （可以知道对体系的某一力学量测量时，对应的本征值出现的 几率，所以波函数从统计的意义上提供了对体系的完全描述）。 2.力学量的平均值（期待值）2.力学量的平均值（期待值） 则力学量的平均值（期待值）：则力学量的平均值（期待值）： 或等价地：或等价地： nnn F= n n n C = = n n n nn C C FF 2 2 | | = | | | F F 证明：证明：分母部分：分母部分： 分子部分：分子部分： = n mn nmm CC|= nm nm nm CC| * mn nm nm CC = *2 | = n n C = mn nnmm CFCF | | = nm nmnm FCC | * = nm nmnnm CC| * = nm mnnnm CC * = n nn C 2 | nnn F= 3.涨落（标准差）3.
