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1、高等代数教学中的若干问题 高等代数教学中的若干问题-曾有栋 高等代数教学中的若干问题 福州大学数学与计算机学院数学系 曾有栋 1、对称矩阵正交特征向量的逐个确定法 ? 通常的方法是对于每个特征值 ，先求齐次组AX=0 的一个基础解系，再 i ? 按Schmidt方法将此基础解系正交化，从而得到实对称矩阵对应于特征值 i 的正交特征向量组。实际上，可以利用正交性条件，通过求解线性方程组 来逐个确定实对称矩阵对应于特征值的正交特征向量组，本人称之为实对 称矩阵正交特征向量的逐个确定法。示例如下： 例：已知 0 1 1 ?1 ? ? ? ? ? 1 0 ?1 1 ? A ? 1 ?1 0 1 ? ?
2、 ? 1 1 1 0 ? 求一正交矩阵T使T AT 成对角形。易得A 的特征值为和三重根 1。易得属于的特征向量为?1 1 (1,?1,?1,1)T ；下面用实对称矩阵 2 正交特征向量的逐个确定法来求属于1的特征向量。 首先由x1 ?x2 ?x3 ?x4 0(1) ? (1,1,1,1)T ? 2 3 2 得一个非零解 ，设 ，则 x ?x ?x ?x 0 (2) 1 2 3 4 联立(1),(2)得 x1 ?x4 0,x2 ?x3 0 (1,1,?1,?1) 3 又设? ,? , 则又有 4 2 4 3 x1 ?x2 ?x3 ?x4 0 (3) ? ,? ,? (1,?1,1,?1) 2
3、3 4 联立(1)(2)(3)可得 4 。则 已正 交。再单位化即可。 此法的特点是避开Schmidt正交化过程，计算 量相对减少，简捷明快。 2、初等变换是线性代数的活的灵魂 我们知道，求行列式的值、求矩阵的秩、求向量组的最 大无关组以及求解线性方程组都离不开初等变换，因此， 初等变换在线性代数中的重要性是勿庸置疑的。实际上， 初等变换还可用于下列更为困难的问题当中： 2.1用初等变换求矩阵A 的最小多项式mA (?)。按定义去求 m (?) 矩阵A 的最小多项式 A 是很困难的。但是我们借助于 Frobenius定理利用初等变换求出矩阵A 的最小多项 m (?) 式 。所谓Frobeniu
4、s定理，就是，矩阵A 的最小多项 A mA (x) d (?) 式 就是A 的最后一个不变因子 n ,这样，将A 的特 征矩阵?E ?A 化为Smith标准形就立即得到矩阵A 的最小 多项式 mA (?) 。 2.2用初等变换化二次型为标准形-初等合同变 换法 我们知道，数域F上的N阶对称矩阵A必合同于对角矩 阵，即存在F上的N阶可逆矩阵C，使得 T 为 C AC D 对角矩阵。当C P 为初等矩阵时易知P T AP 的意思 就是先对A进行初等行变换，再对P T A 进行初等列 变换，这一过程称为初等合同变换。由于C可 逆，C P P ?P ，其中 P (i 1,2,?,n) 初等矩阵,从而
5、i 1 2 t ? ? ? T .(B.1) C AC P P ?P AP P ?P diag (d ,d ,?,d ) t t?1 1 1 2 t 1 2 n CT P T P T ?P T P T P T ?P T E .(B.2) t t?1 1 t t?1 1 由(B.1)(B.2)即知把A用初等合同变换化为对角形的 同时,对单位矩阵E进行同样的初等行变换就将E变 为 CT .因而得到下面化对称矩阵为对角形的计算 框图: A En D CT ? ? ? T ? ? ? ? ? A En ? D C E O C或O . ? n ? ? ? 2.3求矩阵Jordan标准形的初等变换法初等相
6、似 变换法 我们知道，复数域上方阵总与一个Jordan形矩阵 相似如不计对角块的排列顺序，这个Jordan形矩阵 C?1AC J 还是唯一的。即存在可逆矩阵C，使 为 Jordan形矩阵。当为初等矩阵时易知 P ?1AP 的意 思就是：（1）P为第一、二类初等矩阵时，为先 对A进行初等行变换，再对 P ?1A 进行相对应的逆变 换的初等列变换；（2）P为第三类初等矩阵时， 为先用数乘A 的第I行加到第J行上去，再紧接着用 数乘 P ?1A 的第J列加到第I列上去，这一过程称为 初等相似变换。由于C可逆， ，其中P (i 1,2, C P P ?P i 1 2 t 初等矩阵,从而 C?1AC P
7、 ?1P ?1 ?P ?1AP P ?P J .(B.1) t t?1 1 1 2 t C?1 P ?1P ?1 ?P ?1 P ?1P ?1 ?P ?1E .(B.2) t t?1 1 t t?1 1 由(B.1)(B.2)即知把A用初等相似变换化为Jordan形矩 阵的同时,对单位矩阵E进行同样的初等行变换就将 ?1 E变为 .因而得到下面化对称矩阵为Jordan形矩 C 阵的计算框图: A En J C?1 E O C O ? n ? ? ? 众所周知，如果只要求求A 的Jordan标准形，可以 将A 的特征矩阵?E ?A 化为S标准形来得到。但是如 果还要求过渡矩阵的话，问题就困难起来了。此时 一般采用广义特征向量的方法
