广义Heronian均值函数与Hamy对称函数的研究

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1、内蒙古民族大学 硕士学位论文 广义Heronian均值函数与Hamy对称函数的研究 姓名：张涛 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：宝音特古斯 20100401 摘要 不等式存在于数理科学的方方面面，无处不在例如解析不等式、矩阵不等式、 概率统计不等式、特殊函数不等式、变分不等式、几何不等式、泛函不等式、积分不 等式、微分不等式、代数不等式、数论不等式等等数学不等式在纯粹数学和应用数 学中扮演着关键角色 因此作为不等式理论中最基础的不等式均值不等式的研究显得尤为重要而 H a m y 对称函数的S c h u r 凸性是建立和分析均值不等式的重要工具所以本文主要研 究广义H e r

2、o n i a n 均值函数和一类广义H a m y 对称函数，本文分为三章： 第一章，简述课题的发展历程、研究现状和本文所做的工作 第二章，主要研究了以下广义H e r o n i a n 均值函数 以一( 口，6 ) =( 学卜帅札 历，W = 蜘勘= 0 的单调性，并建立了一个新不等式： x 7 + ( 2 r - 2 ) x ；y ；+ y 7s ( ) ( x + y ) 7 ( ) 主；( 工+ ( 2 ，一2 ) x ；y ；+ y ) ， 得到了其对任意x y 0 成立的充要条件然后应用其将H “ ( 口6 ) 与幂平均 M 。( 口6 ) =( 半卜。 蕊g = o 进行了比

3、较，并得到了以。( 口，6 ) ( ) ( 口，b ) 对任意仉b O 成立的充要条件从而 改进了相关文献的结果 第三章，主要研究了一类广义H a m y 型对称函数 啪叫呦= 即艮睁叫r 州产啦，m 础K a ： 0i So b t a i n e d I nC h a p t e r3 ，t h eS c h u r - c o n v e x i t yo ft h ef o l l o w i n gg e n e r a l i e dH a m y s y m m e t r i c f u c t i o n sa r ed i s c u s s e d 以( 删伊( 5 )

4、) = 兀 I S J l o 成立的充要条件 S c h u r 凸性是建立和研究不等式的重要工具，本文也讨论了以下对称函数 1 “ l A x ；r ，烈s ) ) = 兀l g ( ，) l 的S e h u r 凸性 2 广义H e r o n i a n 均值函数与H a m y 对称函数的研究 1 2 几种常用平均值函数的介绍 全文中，记 R “= ( 删，佃) 4 ，彤= o ，佃) “，彤= ( o ，佃) ”，IcR 为区间， 特别，R 1 = R ，硝= R 砖= 足 设x = ( 五，X 2 t l 9 毛) ，Y = ( Y i ，Y 2 ，儿) R 4 ，口E 只，记

5、 x + y = ( 五+ Y l ，而+ 儿，毛+ 儿) ，x y = ( 而y I ，而儿，毛儿) ， a x = ( 口而，口而，口毛) ，2 。= ( e x l , P “，P J - ) 若x = ( 五，毛，吒) 彤，记 三= ( 妄，i 1 ，专) ，= ( 彳，) ，k x = ( t n 墨洳而，洳) 定义1 2 1 正数a ，b 的算术平均定义为 彳( 口，6 ) = _ a + - b 正数口，6 的几何平均定义为 G ( a ，6 ) = 历 正数口，6 的调和平均定义为 脚= 音= 等 ab 定义1 2 2 正数a b 的指数半均足义为 小，6 ) = 矧 正数口，

6、b 的对数平均定义为 三( 口，6 ) = 意急 定义1 2 3i F _ 数a ，b 的幂平均定义为 w ，： ( 半卜。， 【忑 ，g = o 那么，有 彳缸6 ) ，G ( a ，6 ) ( 口，6 ) ) c 坞( 口，b ) 1 定义1 2 4 正数a 的含有两个参数的广义平均定义为,b H e r o n i a n ( 1 1 ) ( 1 2 2 ) ( I 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 内蒙古民族大学硕士学位论文3 以。( 口，6 ) k 2 扎一 【4 - g , w ( a b ) + 6 ， 2 + 6 ， 1 4 + 2 f i

7、 r , w O , p ：O 口 6 。( 1 2 7 ) w = 佃或P = 0 可以看出 A ( a ，6 ) ，G ( a ，6 ) ，H ( a ，6 ) ，风i 口，6 ) ，鸠( 口，6 ) ) c H ”( 口，6 ) ) 定义1 2 5 正数口，b 的G i n i 平均定义为： 可推得 其中 G ( r ，J ，a ，6 ) = ( 等厂 唧( 訾) ，以p l 矿j S r ， s = ，0 ( 1 2 8 ) s = r = 0 A ( a ，6 ) G ( a ，6 ) ，日( 口，6 ) ，M q ( 口，6 ) ) c G ( 口，6 ) ) 定义1 2 6 正数

8、口，b 的S t o l a r s k y 平均定义为 E ( r ，J ，口，6 ) = 显然，有 E 等厂 p 畿) 7 ， 弗r 矿 历， 口， r s ( r - s ) ( a - b ) 0 ， r ( x - b ) O ，s = 0 ， r ( a - b ) O ，J = ，- ， J = 厂= 0 ，口b ， 口= b A ( a ，6 ) ，G ( 口，6 ) ，( 口，6 ) 工( 口，6 ) ，鸠( 口，6 ) ) c E ( ，口，y ) ) ， 定义1 2 7 设x R ”，记 鸠( 口，b ) = E ( 2 q ，g ，口，6 ) 4 ( x ) = 五+

9、而+ + 毛 ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 4 广义H e r o n i a n 均值函数与H a m y 对称函数的研究 以( 功2 丁杆，x 彤 ( 1 2 1 1 ) j c l屯 定义1 2 8 【l I 】设x ，yeR ”，z 与少分量的递减重排分别记为五J l 西2 】 x I 。J 与 咒，l Y l ：】M 川，若托】，k = l ，2 ，n - I ，且铂= l ，则称x 被J ，所 控制，记作x 0 ，那么只需证明当Y = l ，x 1 时，结论成立即可 先证( 2 - 3 1 ) 左端令( x ) ：O + 1 ) ，一x ，一( 2 ，一2 ) x ；

10、一1 ，那么 r x r ( 21 ) x 1 ) x ， ( x ) = ，- ( x + 1 ) ，- 1 一。一 一 2 = | | l + 二I l 一( 2 ”一 i I ， 记三：，g ( f ) ：( 1 + f ) ，- - 一1 一( 2 一一1 ) 二，从而，( x ) = r x - | g ( f ) ( o 0 ( i i i ) 当l o ，所以 存在孝( 0 1 ) ，使得当，( o ，手) 时，吃( ，) 0 所以由9 7 ( ，) 与 ( f ) 符号的一致性知当f ( o ，手) 时，g ( f ) 0 进而由 g ( 1 ) = g ( O ) = 0 ，

11、g ( t ) 0 下证( 2 3 1 ) 右端令 地) = ( H 1 ) 7 一云r + ( 2 r - 2 ) F + 1jH 纠， 因 七c x ，= ，c x + - ，l 一2 ”( x ”I + c ，一- ，x 手1 ) = x ”( ，( 圭+ ) r - I 一2 l c ，一，2 I x l r ， 记二= ”，( ”) = ，( 甜+ 1 ) 7 一一2 一- 2 1 ( r - 1 ) u 2 ( 0 0 ，若1 0 ，w 0 P ，q R ，贝0 ( i ) 若( p ，g ，w ) 彳，有鸠( 口，6 ) 砟，( 口，6 ) ，并且q m = P i 丽I n 2

12、 ： ( i i ) 若( p ，g ，) 口，有鸩( 口，6 ) 一，( 口，6 ) ，并且g 一= p 面丽I n 2 其中 彳= ( g ，川，I q O , w 2 q p l 面t w 均2J l u p p 巾姐。w Q q p 尚 ， B = c g ，p w ，f g 。w s 2 g p 丽I n 2 u 1 6 ：l ， 那么只需证明 皇导I r U l l w 2 f 弋r 9 + w f 百。+ l “ w +I 令厂：l n ( _ w i + 一2 ) ，f - ：x ，那么当g 0 时，不等式( 2 4 1 ) 等价于 I nZ ( 2 4 1 ) ( x + 1

13、 ) 7 工7 + ( 2 7 2 ) x 2 + 1 ， ( 2 4 2 ) 当q 一 竿 1 2 广义H e m n i a n 均值函数与H a m y 对称函数的研究 所以= p i 丽i n 2 证毕 推论2 4 2 设口b 0 ，w 0 ，q R ，则 ( i ) 若w 2 ，g i 丽I n 2 ，有峨( 口 6 ) 日( 口 6 ) ： ( i i ) 若。w 2 ，9 面i n 而2 ，有心( 口，6 ) ( 口，6 ) 定理2 4 3 设口，b 0 ，w 0 ，P ，g R ，贝0 ( i ) 若( p q , w ) c M q ( 口，6 ) 2 日胪( 口，6 ) ，

14、并且g 诵。= 看： ( “) 若( p , q w ) D ，7 有M q ( 口6 ) 日”( 口，6 ) ，并且g 眦= 号 其中 c = 卜) f g 扎。w 组g 是) U ( 鲫帅o ，w 兆g 是 。= p “ 帕孔w 乩g 而2 p u ( g ，) l g 姐。w Q g 而2 p 证R i 正( i i ) 当P = O 时结论显然成立，下设P 0 由于胃”( 口6 ) 和M 。( 口6 ) 分 别关于p g 单调递增，故只需验证当p = 二号兰g 时结论成立即可令口= ， 1 ，6 = l ，那 么舅需j ：i F 明 21 w + 2 q A 拿t q = u 0 ，_

15、 w + 2 = ，那么当g 0 时。不等式( 2 4 4 ) 等f r - ：J ： ( “+ ) 7 吾( + ( 2 ，一2 ) “；+ ) ， 当q 0 ，必须g 笔所以g 晌= 名 证毕 推论2 4 4 设口，b 0 ，w 兰O ，q R ，则 ( i ) 若w 2 ， g 鲁，有( 口，6 ) s 骂。“6 ) ； W + Z ” ( i ) 若o w 2 ， g i 鲁，有鸩( 口，6 ) q 。( 口，6 ) 推论2 4 5 2 1 设口，b 0 ，W O ，P ，q R ，若 ( i ) 若。 O ，O ，贝U (a24bW Pq R ( i ) 鸠( 口，6 ) 一，( 口，6 ) 成立的充要条件为( p ，9 w ) e A U C ； ( i i ) 螺( 口，6 ) 以，( 口，6 ) 成立的充要条件为( p ，q