《第5章 证券组合理论(投资学-哈尔滨工程大学,孙伟)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章 证券组合理论(投资学-哈尔滨工程大学,孙伟)（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 章 证券组合理论 证券组合就是使用不同的证券和其他的资产， 目的是在适当的风险水平之 下通过多样化以获得最大的预期回报，或者说获得一定的预期回报而使得风 险最小。马克维茨(Markowitz)的证券组合理论给予证券组合的预期回报与风 险的定量分析，即均值方差分析方法。 事实上， 在评估一个资产组合的风险时， 投资者必须考虑到资产收益之间 的相互作用，投资于补偿形式的资产，使之抵消可能遇到的某种风险称之为 套期保值。这一方法可以看成是马克维茨组合投资理论的基本思想。 51 资产收益 511 收益的概念 假设零时点你购买一项资产， 一年后你出售这项资产。 这项投资的总收益 定义为： 收入额
2、 总收益投资额 或者如果X0与X1分别代表投资的货币量与收到的货币量， R代表总收益， 则： 1 0 R X X = (5.1) 通常为简单起见，收益一词用来代表总收益。 收益率定义为： 收入额投资额 收益率 投资额 或是同样地，如果 X0与 X1分别代表投资的货币量与收到的货币量，r 代 表收益率，则： 10 0 XX r X = (5.2) 收益一词也常用来表示收益率， 我们通过用大、 小写字母区分这两个定义， 如 R 与 r 分别代表总收益与收益率。而通常当使用收益一词时，上下文将会 使其所表示的含义变得清楚。 显然这两个概念有如下关系： R1+r (5.3) 而(5.1)式可以写为 1
3、0(1 )XXr=+。这表明收益率的功能类似于利率。 512 卖空收益 有时可能通过卖空将一项不属于你的资产出售。 为做到这一点， 你需要向 资产的所有者(如一家经纪公司)借入该项资产， 然后你将这项资产出售给其他 人并获得收益 X0。将来某一日你通过以 Xl购买该项资产并将其偿还给出借 人。如果 Xl0，则两随机 变量为正相关。这种情形下，如果一个随机变量高于均值，则另一随机变量 也可能同样高于均值。另一方面，如果 xy +时表达式变为负值，因此，绝对值变为 21 (1) 。这种 转折发生在点 A。这两个线性表达式与均值的线性表达式一起，形成了一条 转折的底部边界。我们得出结论：由投资组合的
4、各点所形成的曲线必定位于 阴影区域内；而对于位于+1 与1 之间的，投资组合的曲线图 53 所示。 接下来我们看一下在ra-与坐标中的情况。 投资组合的预期收益率是各证券预期收益率的一种线性组合，我们有 1212 (1),( )(1) ( )( )rrr E rE rE raaaa=-+=-+， 见图 5.31。 图 5.31 表明投资组合预期收益率是a的线性函数。a可以为负，比如 0a = = = = H VH G VG H r H VGG VH （5.27）式可写为： p P CrA D =+wHG （2.20） （2.20）式实际上表示了所有前沿集合中的资产组合的结构，其中H与G 作为已
5、知的常数向量，而w则依赖 p r的选择。现在进一步考虑前沿集合的性 质。 最小方差集上，任意两个有效投资组合 p、q 收益的协方差为： ()( )( ) cov,/1/ T pqpqpq C r rE rA CE rA CC D =+ w Vw (5.28) 如果 pq=，则单个资产组合 p 的收益率方差为： 22 2 22 2 1 ( () 2 ( ()0 () () 2 0 () Pp P p p p P p CA E r DCC CA E r E rDC A E r C C E rD =+ = = = 2 min = C 1 所以下式成立： () 2 2 2 / 1 1/ p p rA
6、C CD C = (5.29) 整理得到： () 22 1 2 ppp CrArB D =+ (5.30) 这是一条顶点为()1/,/C A C的抛物线。见图 56。 图 56 投资组合的前沿 应当注意到前沿资产组合的结构并不是完善的。因为直观上就可以观察 到，任意给出一个方差值（只要大于1/C ） ，就会存在两个收益率不同的前沿 资产组合。因此，除了考虑前沿集合中具有给定期望收益率下的最小方差的 特征以外，尚还需要考虑在给定方差下具有最大期望收益率的特征。我们称 满足在给定方差下具有最大期望收益率的前沿集合的子集合称为有效前沿集 合，或有效集合，其中的元素称为有效资产组合或有效组合。 563
7、 卖空的限制 前面的讨论中变量 i w 未加限制， 即意味着允许卖空。 我们能够通过限制 i w 为非负来禁止卖空。即加上约束条件 i 0,i=1,2,nw ? (5.31) 这一模型不能被简化为一种线性方程式的求解问题。 由于该模型的求解目 标为二次的而限制条件为线性的(一次的)等式与不等式、 因此， 它们称为二次 规划。 两个模型重要的差别在于当允许卖空时， 大部分(如果不是全部)最优的 i w 有非零值(或正或负)，因此大体上所有资产都被使用。而当不允许卖空时，许 多最优的 i w 值为零。 564 最小方差资产组合与协方差正交性质最小方差资产组合与协方差正交性质 这里将要讨论有效前沿上
8、的资产组合与不在有效前沿上的资产组合之间 非线性关系。为此，需考虑一个特殊的资产组合及整体最小方差组合 mvp 的 性质。 定理：定理：假设不存在无风险资产，那么 mvp 与任何一个资产组合 p 的收益率的 协方差总是等于 mvp 的收益率方差，即 2 1 Cov( ,) pmvpmvp r r C =? (2.39) 证明证明： 设任一资产组合 P 的权重 P w ，这样并不意味着 P w 满足（5.27）式， 但作为权数，1 T P = w1应当成立。而 mvp 的权数应有 mvp w= g ，由协方差公式 可知： 1 (,)1/1/ TTT pmvpPmvpPP Cov r rCC =w
9、 Vww Vgw VV 1 定理定理：除了 mvp 外的一个前沿资产组合 P，总存在唯一的前沿资产组合P ， 它与 P 的协方差为零，即成立： (,)0 T pPPP Cov r r=w Vw (2.40) 证明：不失一般性，设 P 为有效 P r 前沿集合上的资产组合，有(5.28)可知，如 果这样的P 存在，使其协方差为零，那么应当成立： 2 1 () ()/ P P AD E r CCE rA C = (2.41) 此时， ()/ P E rA C,则()/ P E rA C。 这意味着对给定的资产组合 P 为有效的， 那么可以找一个满足(2.41)的 P 是非有效前沿资产组合，它的期望
10、收益率为 () P E r，所为存在性成立。又因为把() P E r作为平行 2 轴的直线，它与圆轴曲 线的一支只可能有唯一的交点，因此满足（2.40）要求的前沿资产组合P 是唯 一的。 ( )E r () P E r P () P E r p 1 p 2 p 2 p 2 p 2 该定理所给出的唯一性意味着在前沿集合中， 总可以找到一对资产组合， 它们的协方差为零，或者说这两个资产是不相关的，其中一个是有效前沿资 产组合。但同时，我们也注意到定理中要求的P 是前沿集合的条件，那么唯 一性的结论将不再成立，也就是可能存在着大量的非前沿资产组合，只要它 们的期望收益率都等于() P E r， 那么
11、都会与 P 的协方差为零， 如图中的 1 P， 2 P。 该定理的几何意义恰如图中的表示，即对任何一个前沿资产组合 P，作 前沿集合的切线，交于( )E r轴上的一点 A，过 A 作 2 轴平行线的与前沿集 合交于P 点，则资产组合P 是与 P 的协方差为零的资产组合。 不存在与不存在与 mvp 协方差为零的前沿资产组合协方差为零的前沿资产组合 定义定义：满足（2.40）式的一对资产组合 P 与P 称为关于协方差矩阵正交 的资产组合，简称为正交资产组合（orthogonal portfolio） 。 这里的正交资产组合的概念实际上是正交向量的概念的推广 1， 同时对定 义本身也不一定要求 P
12、与P 是前沿资产组合，所以根据（2.19）式可知，G与 H两个向量也构成正交资产组合，虽然G、H本身构造的两个资产组合都不 是前沿组合。正交资产组合在资产定价理论中起着非常重要的作用，下面的 定理是非常基础的： 定理定理：对任何一个资产组合 q，都存在一个前沿资产组合 P，使得 q 的期望收 益() q E R ? ）可以表示成为 P 与P 的期望收益率() P E R ? 与() P E R ? 的线性关系，这 里的 P 与P 是正交的资产组合。 （PMVP） 注： （因为 V 是正定的，所以总可分解为 T V = Q Q,Q 为非奇异矩阵。则 (,)()() TTT pqppq Cov r
13、 r=w Q QwQwQw,把 p Qw 与 q Qw 作为新的向量，当协方 差为零时，即为这两个向量为正交。 ） 证明：由于资产组合是任意的，因而他并不一定在前沿集合内。在前沿集合 商人已确定一个资产组合 P，只要前沿集合是非空的，P 总是存在的。此时， 作为前沿资产组合的 P，必定满足（2.22）式，将（2.22）关于() p E r与 P 求 全微分，有： () () p P Pp dE r D dCE rA = （2.42） 我们注意到，这个表达式既是前沿集合在点（ P ,() p E r）的斜率，同时也是 在点 P 的切线方程的斜率，切线与() p E r轴的交点即为切线的截距，他同
14、时也 是与 P 正交的资产组合 p 的期望收益() p E r,因此成立下式： () ()() p ppp p dE r E rE r d =+ 将（2.42）代入，整理后可以得到： 2 ()() ()/ p pp p D E rE r C E rA C = 现在计算 p 与 q 的协方差： 1 ( ,)( () ( ( ) T pqpqpq CAA Cov r rE rE r DCCC =+w Vw 由上式可知： 22 ( ,) 1 ( )( ()() ()/ pq qpp pp Cov r r AD E rE rE r CCE rA C =+ 由（2.41）可知，上式右端的余项即为与 P
15、正交的资产组合P 的期望收益率 () p E R ? ,并记： 2 ( ,) pq qp p Cov r r =，可得： ( )()( ()() qpqppp E rE rE rE r=+ （2.43） 这个定理指出，对任何一个资产组合 q,不管它是属于前沿集合，总可以 在前沿集合上找到一对正交资产组合 p 和 p ，使得 q 的期望收益表示成这一 对资产组合收益率的线性组合。 这里的 p 资产组合的收益率如代替 q 资产组合，那么由（2.43）可知这个 2 cov( ,) 0 pp pp p r r = 这一点是和 p 和 p 正交性相一致的，所以称这 p 资产组合为零资产组合。 在上述讨论正交资产组合的关系时，我们并没有加入无风险资产，因为 已经知道，当加入无风险资产后，有效前沿由二次曲线蜕化为直线，这时， 任何有效资产组合对有效前沿所作的切线与这样直线相重合的，这样与 E(R) 轴的交点便只有一点，即无风险收益率 Rf，所以全体有效资产组合的正交资 产组合也退化成一个，即无风险资产。因此： 2.4：存在无风险资产条件下，全体有效资产组合都和无风险资产 rf协方差正 交，因此，无风险资产也同时相对于全体有效资产组
