南开高三数学基础知识归类理

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1、高中数学基础知识归类献给2015年高三(理科)考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：函数的定义域；函数的值域； 函数图象上的点集.2.集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集,记为. 空集是任何集合的子集,记为. 空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况 如：,如果,求的取值.(答：) ,； . . 元素的个数：. 含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使 ,求实数的取值范围.(答：)4.原命题: ；逆命题: ；否命题:

2、 ；逆否命题: ；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“”是“”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件).6.注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是. 命题中的：“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”. 如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数,则是奇数” 否定是“若和都是偶数,则是奇数”.原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或二.函数1.映射:是： “一对一或多

3、对一”的对应；集合中的元素必有象且中不 同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集). 一一映射:： “一对一”的对应；中不同元素的象必不同,中元素都有原象.2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数 且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.5.求

4、值域常用方法: 配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围). 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； 不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； 判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法； 方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； 若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点(

5、)； 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或； 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数的单调递增区间是.(答：)8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对而言）； 上下平移-“上加下减”(注意是针对而言).翻折变换：；.

6、对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. 证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然. 函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数 的图像关于直线(轴)对称； 若函数对时，或恒成立,则图像关 于直线对称； 若对时,恒成立,则图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； 函数与的图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； 函数与的图像关于原点成中心对称；函数, 的图像关于点对称； 函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于 ,的对称曲线的方程为(或； 曲线：关于点的对称曲线方程为：.9.函数的

7、周期性：若对时恒成立,则 的周期为； 若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； 若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； 若关于点,对称,则的周期为； 的图象关于直线,对称,则函数的周期为； 对时,或,则的周期为；10.对数：；对数恒等式； ； ；对数换底公式； 推论：. (以上且均不等于)11.方程有解(为的值域)；恒成立, 恒成立.12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种

8、形式： 一般式：；顶点式： ； 零点式：.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：复合函数定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由 不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求 的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： (或)(或)；18.函数的图像是双曲线：两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点；反函数为；19.函数：增区间为,减区间为. 如：已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是(答：).三.数列1

9、.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要 单独列出.如：数列满足，求(答：).2.等差数列(为常数) ；3.等差数列的性质： ,； (反之不一定成立)；特别地,当时,有； 若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； 等差数列,当项数为时,；项数为时, ,且；. 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析. 若,则；若,则； 若,则Sm+n=0；S3m=3(S2mSm)；.4.等比数列.5.等比数列的性质 ,；若、是等比数列，则、等也是等

10、比数列； ；(反之不一定成 立)；. 等比数列中(注：各项均不为0) 仍是等比数列. 等比数列当项数为时,；项数为时,.6.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列, 则数列是等差数列； 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列； 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：； 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什

11、么？)7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法. 已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如, (为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 再求.形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位 相减；分裂通项法.公式：； ；常见裂项公式； ； 常见放缩公式：.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，

12、细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. 利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利 率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题).四.三角函数1.终边与终边相同；终边与终边共线；终边 与终边关于轴对称；终边与终边关于轴对称 ；终边与终边关于原点对称； 终边与终边关于角终边对称.

13、2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度().3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： ；4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 、”的关系. 如等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视a为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：； 等；“”的变换：；7.重要结论：其中）；重要公式； ；. 万能公式：；.8.正弦型曲线的对称轴；对称中心； 余弦型曲线的对称轴；对称中心；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角

14、函数问题勿忘三 内角和等于,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：； 余弦定理：； 正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径； 面积公式：；射影定理：.10.三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为的情形.有实数解.11.三角函数性质、图像及其变换：(1)三角函数的定义