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1、1 5.1 非简并定态微扰理论如何 分？假 设 本征 值及本 征函数 较容易 解出或 已有现 成解， 是小 量能看 成微扰 ，在已 知解的 基础上 ，把 微扰 的影 响逐级 考虑进 去。代入 方程同次 幂相等（ （ 1 ）( 2 )( 3 ) 求能 量的一 级修正( 2 ) 式左 乘 并对 整个空 间积分2能量 的一级 修正 等于 在 态中 的平均 值。 求对 波函数 一级修 正将仍是 方程 ( 2 ) 的解 ，选取 a 使展 开式不 含将上 时代入 式 ( 2 )以 左乘 上式， 对整个 空间积 分令上式 化简为 ：3 求能 量二级 修正把 代入 ( 3 ) 式， 左乘 方程（ 3 ）式 ，
2、对整 个空间 积分左边 为零讨论 ： （ 1 ）微 扰论成 立的条 件：( a ) 可分 成 ， 是问 题主要 部分， 精确解 已知或 易求( b ) 0 时， （不 含时间 ）则体 系一直 保持如 t 0 时， 哈密顿 量加上 一微扰 ，（通 常是含 时间的 ）状 态将发 生变化 ，这时将不 再是 能量 本征态 。能量 本征态 为 出现 的 几率 ，也 就是原 来 状态 跃迁到 的跃 迁几率 。考虑 后， 如何求 ？将 代入 方程利用14上式 简化为以 左乘 上式， 对整个 空间积 分上式 是 薛定 谔方程 在 能量 表象 中的 形式零阶 :一阶 :15考虑 到 一级 修正几率 ：讨论 ：
3、（ 1 ） 利用 的厄 密性 ,在一 级近似 下 ,（ 2 ） 对简 并情况 下 ， 不能 由此得 出从能 级 的跃 迁几率 等于从 能级 的几 率 。 计算的 跃迁 几率 。如 有 简并如初 态有 简并即对 末态求 和，初 态求平 均。 5.7 跃迁几率一 常微 扰t = 0 , 状态 为 ， ， 与时 间无关 。16利用性质 :x = 0令：再利 用17跃迁 速率讨论 ： （ 1 ） 对常 微扰， 当作用 时间相 当长情 况下， 跃迁 几率 与 时间 无关 。（ 2 ） 只在 末态能 量 的范 围中才 有显著 跃迁 几率 ，可 看出只 有当 连续 变化时 才有意 义。用表示 体系末 态的
4、态密 度 ，则 表示 范围 的末态 数目。因此 从初态 到末态 跃迁几 率是各 种可能 跃迁几 率之和（ 黄金 规则 ）末态 是自由 粒子动 量的本 征函数 时的 态密 度 ：箱归 一化18每一 组 的值 确定一 个态动量 在 范围 内态的 数目不变 ， 不变为能 量为 （或 动量为 ）单 位立体 角的 态密 度 。二 周期 性微扰在光 的照射 下，原 子可能 吸收光 子而从 低能级 跃迁到 较高能 级或从 较高能 级跃迁 到较低 能级而 放出 光子 。这种 现象分 别称为 光的吸 收与 受激 辐射 。光为 电磁场 ，场强 是周期 变化的 ，原子 在光的 照射下 ，实际 上是受 到一 周期 性
5、微扰 。体系 在 t = 0 时 , 受与时 间无关本征 函数 :19讨论 ： 当 ,即第 二项正 比于时 间 t ，第 一项不 随时间 增加， 因此 第二 项起主 要作用 。同样 时， 第一项 ，第 一项起 主要作 用。时， 跃迁 几率 很小 ，因此 只有 或 时， 才能出 现明显 跃迁。 也就是说， 只有当 外界微 扰含有 频率 时， 体系才 能从 态跃 迁到 态， 体系吸 收或发 射的能 量是 ，这是 共振 现象 。时， 利用令20讨论 ： 函数 是 能量 守恒 条件 的体现 。当 ， 只有 时 ， 跃迁 几率 才不 为零 ， 即体 系由 态跃 迁到 态 ， 发射 出能量的 光子 。当
6、时 跃迁 几率 不为 零，体 系吸收 能量 ，由 态跃 迁到 态。能量 时间测 不准关 系确定 ， 不确 定t 测量 时间间 隔一般 情况 : 。 5.8 光的发射与吸收光的 吸收自发 跃迁 不受 外界影 响，21受激 辐射 在外 界作用 下当无 外界作 用时， 原子中 的电子 处于定 态按量 子力学 的观点 它应永 远处在 这个定 态，不 可能自 发跃迁 至较低 能级并 辐射出 光子。 而要想 达到辐 射平衡 必须有 自发跃 迁，只 因为我 们把光 子看成 了经典 的电磁 场，只 有用 量子电动 力学 才能 彻底解 释这一 现象。一 自发 辐射和 爱因斯 坦理论爱因 斯坦 建立 了一套 理论
7、， 他先假 设同时 存在 自发 辐射 和 受激 辐射 ，当 体系和 辐射场 达到热 平衡后 ，用平衡条 件来建 立自发 辐射与 受激辐 射之间 的关系 ，利用 量子力 学 含时 微扰论 求出 受激辐 射系数 ，再利 用 平衡 条件给出 原子体 系的自 发辐射 系数。三个 系数：, 的 自发 发射系 数 ，单 位时间 内由 的几 率。, 受激 发射系 数 ， 为单 位时间 由 的跃 迁几率 ， 为外 加电磁 场的能 量密度。吸收 系数 ， 为单 位时间 原子由 的跃 迁几率 。单位 时间 的几 率，单位 时间 的几 率，对多 个原子 的体系 ，当这 些原子 与电磁 辐射在 绝对 温度 T 下处
8、于 平衡 时 ,由 麦克 斯韦 玻尔 兹曼 分布 律 ,K : 玻尔 兹曼常 数22由热 平衡时 ，黑体 辐射时 的 普朗 克 公式其中比较 上式两 边：由 麦克 斯韦 玻尔兹 曼分布 律 可知而 , 如果 没有 自发 辐射 ，不 可能达 到 热平 衡 。二 用微 扰论计 算发射 和吸收 系数23这里 我们把 光波看 成经典 理论中 的电磁 波因此 只考虑 电场对 电子的 作用，1 . 沿 轴传 播的平 面单色 偏振光( 米， 米 )单位 时间内 原子由 态跃 迁到 态的 几率光波 的能量 密度242 实际 光源连续 分布， 各向同 性， 对光 的频率 分布范 围积分原子 在单位 时间内 由
9、的几 率再考 虑 各向 同性 ，对 所有 偏振 方向 求平 均 5.9 选择定则禁戒 跃迁25（ 1 ）利用不为 零的条 件： ，( 2 )不同 时为零 的条件 : ,最后 的出不 为零的 条件( 选择 定则 )第五 章 小结内容 总结】微扰 论1 微扰 论的基 本思想 :26将复 杂的体 系的哈 密顿量 分成 与 两部 分。 是可 求出精 确解的 ，而 可看 成 的微 扰。只需将 精确解 加上由 微扰引 起的各 级修正 量 ， 逐级 迭代 ， 逐级 逼近 ， 就可 得到接 近问题 真实的 近似解 。 确定 时 ，先确 定 ，再 用 确定 。2 定态 微扰（ 1 ） 非简 并条件（ 2 ） 简
10、并 兼并 情况的 不同之 处是 ， 若按 微扰论 的基本 特点 ， 仍让 的精确 解作为 定态解 的零级 近似的 话 ， 那么需先 要解决 的问题 是如何 从个简 并态中 挑选出 正确的 零级近 似波函 数，正 确的零 级近似 波函数 应是使 对角化的 基矢。 对角 化后对 角上的 元素为 对能量 的一级 修正。 为此令久期 方程求出 能量一 级修正 ，将 每个 解代 入方程27可求 出每个 解对应 的零级 近似波 函数注意 ： （ i ） 简并 非简并 的区别 是对我 们所考 虑的能 及来说 的，与 其他能 级是否 兼并无 关。（ i i ） 新的 零级近 似的波 函数是 彼此正 交的 。（
11、 i i i ） 在以 新的正 确地零 级近似 波函数 为基 矢的之 空间即 、 与 在该 空间都 是对角 化的3 含时 微扰 （ 1 ） 物理 图象( 不含 时 )的作 用是使 体系由 原来的 一定态 ，跃 迁到了 一系列 的可能 态 ，体 系由 跃迁 到 态的 几率为（ 2 ） 跃迁 几率（ a ） 常微 扰只有 在 的很 小范围 才有明 显的跃 迁，态 密度28( b ) 周期 性微扰表明 了跃迁 过程必 须遵守 能量守 恒。4 光的 发射与 吸收， 爱因斯 坦几率 系数用量 子力学 处理原 子体系 ，用经 典电磁 理论处 理光波 ，把光 的吸收 与发射 问题（ 光子的 产生与 湮灭） 转换成 在电磁 场作用 下原子 在不同 能级间 的跃迁 问题。三个 系数：自 发发射 系数， ：受 激发射 系数， ：吸 收系数5 选择 定则 ，二 变分法 ： 不受 微扰论 条件的 限制处 理基态 问题比 较方便基本 思路： 引入试 探波函 数 求 求极 值 ，得
