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1、全国高中数学联赛模拟试题(五)（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、 空间中n（n3）个平面，其中任意三个平面无公垂面那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线；（3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n-2个平面相交其中，正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）42、 若函数y=f(x)在a,b上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c(a,b)时，f(c)的近似值可表示为（A）（B）（C）（D）3、 设abc，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A）a+b1（B）a+b=1（C）
2、a+b1（D）不能确定，与a、b的具体取值有关4、 设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b=（A）（B）（C）（D）5、 S=1,2,2003，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列那么，这样的三元子集A的个数是（A）（B）（C）（D）6、 长方体ABCD-A1B1C1D1，AC1为体对角线现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有（A）V4V1+V2+V3（B）V4=V1+V2+V3（C）V4V1+V2+V3（D）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、已知，则k的
3、取值范围为 2、等差数列an的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个3、在四面体P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且ab，则的取值范围为 4、动点A对应的复数为z=4(cosq+isinq)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 5、被8所除得的余数为 6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 三、 （20分）已知抛物线y2=2px(p0)的一条长为l的弦AB求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标四、 （20分）单位正
4、方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角五、 （20分）对正实数a、b、c求证：9第二试一、 （50分）设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为PAB的内切圆与边AB的切点乘积PAPB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PAPB取最小值时，（1）证明：AB2BC；（2）求AQBQ的值二、 （50分）给定由正整数组成的数列（n1）（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，(a2k-1,a2k)，均在曲线x2+xy
5、-y2+1=0上（2）若设f(x)=xn+xn-1-anx-an-1，g(x)=x2-x-1，证明：g(x)整除f(x)三、 （50分）我们称A1,A2,An为集合A的一个n分划，如果（1）；（2），1ijn求最小正整数m，使得对A1,2,m的任意一个13分划A1,A2,A13，一定存在某个集合Ai(1i13)，在Ai中有两个元素a、b满足bab参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DCACBC二、填空题：1、；2、17；3、；4、；5、4；6、117600三、四、（1）证略；（2）五、证略第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PAPB最小值为2，此时APB90）；（2）AQBQ=1二、证略（提示：用数学归纳法）三、m=117
