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1、1.1.2 有约束情况下的拉格朗日方程讨论：受约束的多个质点在保守力场中的运动方程出发点：牛顿第二定律设：N个质点，质量和矢径分别是 。牛顿运动方程： 3N个标量方程一般情况下，3N个方程并不独立。 方程组不独立的原因：有约束的存在。,约束的定义：力学系统在运动过程中受到的限制 (包括对位置和速度的限制)。约束的作用：1使力学系统的坐标之间发生关联 而不全部独立； 2给力学系统施加约束反力。约束反力： 约束总是通过一些外界物体(如轻杆、滑槽、软绳等)作用在所研究的系统中的质点上。在运动过程中，系统中的质点对这些外界物体有作用力，同时受到这些物体的反作用力，称为约束反力。,由于约束反力的作用，使
2、质点的坐标满足约束方程；约束反力随时间变化，不能预先知道，只能通过解运动方程求得。约束方程：约束条件的数学表达式。可用等式或不 等式表示。约束的例子：（1）阿特伍得机力学系统：物块 1+ 物块 2约束：光滑槽、轻绳、圆盘系统自由度：1,m1的坐标： ；m2的坐标： 共6个坐标约束方程： （显示屏所在平面） 5个方程。(自由度 = 6-5 = 1)（2）单摆描述m的坐标： （不独立）约束方程： （两个独立）系统自由度： 2,自由度数目少于坐标的数目N个质点的3N个笛卡尔坐标：若这些坐标满足3N-S个等式（约束方程）： x：全部的 独立方程的个数：3N-(3N-S)=S力学体系只有S个独立坐标，即
3、系统有S个自由度。,约束的分类：1约束方程 中不含时间t 稳定约束2约束方程 中含时间t 不稳定约束3. 由不等式表示的约束可解约束由等式表示的约束不可解约束 约束的存在，使得力学系统的坐标不再独立 寻求独立坐标,对于一个有S个自由度的力学系统，找到S个适合的变量，使3N个笛卡尔坐标是这S个变量的函数： 以上函数关系满足约束方程，则这样的S个变量 是决定系统中所有质点位置的独立变量，称为系统的广义坐标。广义坐标的引入解决了因约束方程相关联而不再全部独立的困难。例子：单摆中小球的直角坐标和摆角之间的关系。,约束的存在，导致约束反力的存在，而约束反力不能预先知道，且很多时候并不关心约束反力“消去”
4、约束反力，只留下S个独立坐标所满足的方程。设：作用在第a个质点上的力为 ， 写为： ：主动力； ：约束反力。目标：“消去”约束反力。,方法：引入虚位移、虚功。单摆的运动：质点只能在以悬点（固定）O为球心，以 摆长 L为半径的球面上运动。 虚位移的定义：在任一时刻，约束所允许的位移称为虚 位移，用 表示。对单摆：虚位移在半径为L的球面的切面上（当虚位移 很小时），约束反力 沿球面的半径方向。,显然 ，所以：定义虚功：实位移与虚位移的区别：实位移：同时满足运动规律和约束条件，在时间间隔dt 内所发生的位移为实位移，它是唯一确定的。虚位移：设想在某一给定的时刻，在约束允许的条件下 系统所发生的位移。
5、虚位移并非发生在时间的,流动过程中，它属于人为引入的位移，目的是为了处理未知的约束反力。虚位移不是运动学和动力学问题，而是一个几何问题。举例：(1)不稳定约束情况下，dr和 的区别。,不稳定约束：悬点作简谐振动的单摆 虚位移在以t时刻悬点所在位置O(t)为心的球面上，实位移的起始点和终点分别在以O(t)和O(t+dt)为球心的两个球面上。显然： 垂直 ，但 不垂直 。,(2)阿特伍得机 的虚位移： 滑槽对 的约束反力： (垂直滑槽表面)显然：软绳对 的约束反力：显然：则：而 所以,结论：在理想的无耗散情况下，约束反力所做的虚功 为零；各个质点所受到的约束反力所做的虚功 之和为零。即定义：满足上
6、式条件的约束称为理想约束。由 得：,虚功原理 文字表述：在理想约束情况下，作用在各个质点上的主 动力和惯性力所做的虚功之和为零。,对于平衡系统：则：对于保守系统，势能U为：作用在第a个质点上的主动力：,比较前面单个质点的相应公式：结论：无约束时，实位移；有约束时，虚位移。,现在由推导有约束情况下N个质点组成的系统的拉格朗日方程。对 求微分： 对实位移,对虚位移求变分： 而虚位移是固定在某一时刻t不变时，约束所允许的位移，故 ，因此,系统的动能：,令 L=T-U ，则 拉格朗日方程,1.1.3 最小作用量原理推导拉格朗日方程的方法之二：从最小作用量原理出发建立运动方程的目的：求解系统的真实状态。
7、力学系统：N个质点，系统运动状态的描述：若有约束，系统的自由度降为S，系统状态的描述： q:广义坐标,若 已知，又 则 已知，即 已知。任意的一组S个函数 系统的一个任意的运动状况初始条件确定后，只有一组S个函数 真实的运动目的：从所有的函数组中选出描述运动状态的一组。,类似问题：光的传播问题A B的任意一条路径： (s:几何路程)A,B固定(固定边界)： 光的实际传播路径 一个函数,任务：确定这一函数。办法：定义光程 (x,y,z)点处的折射率显然：不同的 不同的 的宗量： ，并不是x,y,z。 的值决定于 的函数形式，称 为 的泛函“函数的函数”。,记为：由于：不同的 不同的l值所以：在l
8、值中有一个值是极值(极大值、极小值或常数)，和这个l值对应的函数 描述光的实际传播路径费马原理。极值条件的数学表示： ：泛函l的变分，它是由于 的函数形式的微小改变 所引起的l值的变化。,比较：普通函数的极值条件 泛函 的极值条件: 费马原理 找到代表实际运动状态的函数固定时刻 的广义坐标值：,的一个泛函： 作用量代表实际运动状态的 是使作用量S有极值的那一组。此即最小作用量原理。泛函 的积分形式力学系统的状态：只决定于坐标和速度，即 ( L:表征了力学系统的状态),作用量S：S的极值条件：拉格朗日方程的推导： 作用量S的变化 是由函数形式的变化 引起的(在每一固定时刻)。,又,而端点固定，所
9、以,若 代表真实的运动，则它应使S取极值，即对于任意的 ，有 拉格朗日方程说明：在此拉格朗日方程是由最小作用量原理推导出来 的；方程为S个二阶微分方程，方程组的通解包 含2S个常数(由初始条件确定)；,2.最小作用量原理是现代物理学原理的普遍形式：除经 典力学系统外，相对论力学系统和场论系统的基本原 理也可以表述为最小作用量原理的形式；最小作用量 原理在由经典物理到量子物理的概念的飞跃上起过相 当重要的作用； 3.最小作用量原理所用的数学工具是变分。,1.1.4 伽利略相对性原理一、惯性参考系运动学(描述运动)：运动与静止 参考系的确定 (此时参考系可任意选择)动力学(运动的原因)：力学规律
10、(此时参考系不能任意选择)两种表述：牛顿运动定律 + 拉格朗日方程惯性系： 力学规律成立的参考系非惯性系：力学规律不能成立的参考系,但：惯性系不止一个 问题：力学规律在不同惯性系是否有不同的形式？二、伽利略相对性原理 惯性系的等价性一切惯性系在力学上是等价的(即在不同的惯性系中，力学规律有相同的形式)。相对性原理 选取不同的惯性系去考察某一力学现 象，且在不同惯性系中，力学规律的 表达形式不变。,问题：惯性系改变后，要建立新的坐标系，不同的坐标 系通过坐标变换联系起来，坐标变换能否保证力 学规律有相同的形式？伽利略变换对此作了保证!三、伽利略变换设：惯性系K(坐标系oxyz)、 (坐标系 )，其 中 相对K以速度V运动，且t=0时，两个坐标系 的原点重合。,做的事：在K、 中考察P点的运动。某一时刻，P的位矢： (K系)、 ( 系)。显然： 伽利略坐标变换由上式得：即 伽利略速度变换v：绝对速度， ：相对速度， V：牵连速度,且得：即 加速度是伽利略变换中的不变量又：质量m是与运动无关的标量不变量(经典力学)；力 F与参考系的选择无关，也与坐标系的选择无关。则：F,m,a都是不变量 牛顿运动定律的形式也就不 会改变，即力学规律具有相同的形式:K系：F=ma， 系： 。,
