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1、第7章 向量自回归模型（VAR）与向量误差修正模型（VEC） 7.1 向量自回归模型（VAR(p)） 传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于
2、它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model）。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种
3、处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。 7.1.1 VAR模型的一般形式 1、非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，且有结构关系 （711） 若引入矩阵符号，记 可写成 ， （712） 进一步，若引入滞后算子，则又可表示成 （7. 1. 3）其中: ,为滞后算子多项式. 如果模型满足的条件: 参数阵特征方程 的根全在单位园外；，即 相互独立，同服
4、从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。这时，是维白噪声向量序列，由于没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；，即与及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型。 2、受限制性VAR模型，或简化式受限制性VAR模型 如果将做为一维内生的随机时间序列，受维外生的时间序列影响（限制），则VAR模型为 ， （714）或利用滞后算子表示成 （7. 1. 5） 其中： 此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式受限制性VAR模型。对于受限制性VAR模型，可通过对作OLS回归，得到残差估计，从而将变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VA
5、R模型，即 ， （716） （7. 1. 7）这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型。 简化式非限制、受限制VAR模型，皆简记为。 3、结构式非限制性VAR模型 如果中的每一分量受其它分量当期影响, 无维外生的时间序列影响（限制）,则模型化为 ， （718）或利用滞后算子表示成 （7. 1. 9）其中： ,这时的此时称该模型为结构式非限制性VAR模型。 如果可逆，既逆阵存在，则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型， （7110）或利用滞后算子表示成 （7. 1. 11） 这时，其中的 4、结构式受限制性VAR模型 如果将做为一维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它
6、分量当期影响,且还受维外生的时间序列影响（限制），则VAR模型为 ， （7112）或利用滞后算子表示成 （7. 1. 13）此时称该模型为结构式受限制性VAR模型。如果可逆，既逆阵存在，则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型， （7114）或利用滞后算子表示成 （7. 1. 15）这时，其中的结构式非限制、受限制VAR模型，皆简记为。 7.1.2 简化式VAR模型的参数估计 VAR模型参数估计, 简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种
7、是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。对于简化式VAR模型（15.1.1）（15.1.3），在冲击向量满足假设，即 相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。这时，是维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵及也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。设,
8、为长度为的样本向量 1、Yule-Walker估计 在充分大时, 首先估计自协方差阵 (7.1.16)令 ,则可得模型参数阵的Yule-Walker估计(矩估计)为 （7.1.17）2、估计模型参数阵的OLS估计，即求使下的作为估计。 记 (7.1.18)由此可推得 （7.1.19）由此可见, 模型参数阵的OLS估计(7.1.15)与Yule-Walker估计(7.1.13)形式相同, 但式中的的计算不同. 但是, 当充分大时,(7.1.16)与(7.1.18)相差很小, 这时(7.1.17)与(7.1.19)相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在充分大时, 可直接采用Yule
9、-Walker估计比较简单方便。 而的估计为 （7.1.20）其中： 3、极大似然估计可证明, 模型参数阵的极大似然估计与OLS估计完全等价。除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，经济时序分析，辽宁大学出版社，1997.1.pp199）,这里不在赘述。7.1.3 简化式VAR模型的预测 在已知时，对的一步线性预测 （7.1.21） 其一步预测误差为 一步预测误差的方差阵为的估计为 （7.1.22）在已知时，如果利用模型参数的估计量，对进行一步线性预测，则的实际一步线性预测为 （7.1.23）其一步预测误差为 一步预测误差的方差阵为的估计为 （7.1.24） 7.1.4 VAR模型阶数p的确定
10、VAR模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。VAR模型的定阶方法有多种：1、FPE准则(最小最终预测误差准则)FPE准则(最小最终预测误差准则)，即利用一步预测误差方差进行定阶。因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。设给定时间序列向量长度为的样本
11、向量为,，则其一步预测误差方差阵的估计量为（7.1.24）式,它是一个阶阵,因此可定义其最终预测误差为 （7.1.25）显然, 是的函数。所谓最小最终预测误差准则，就是分别取=1，2,，M, 来计算, 使值所对应的, 为模型合适阶数。相应的模型参数估计为最佳模型参数估计。其中，M为预先选定的阶数上界,一般取之间。 在实际计算过程中，可如下判断： 如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定=1； 如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR（p）模型来描述； 如果的值，在某一值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该值为所确定的阶数； 如果的值，随着从1开始逐渐
12、增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。利用FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前个分量，来进行，方法如下：记（7.1.21）式中的阶矩阵的左上角阶子方阵为, 则前个分量，的最终预测误差为 （7.1.26）当时，（7.1.26）为(7.1.25)式。 如果，则可认为仅用前个分量，建立模型即可，没有必要采用维随机时间序列建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用维随机时间序列建立模型比仅采前个分量，建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。2、AIC(Akaike Information Criterion)与SC（Bayes Information Criterion）信息准则AIC、SC信息准则，也称最小信息准则，定义 ， （7.1.27）其中：为模型需要估计参数个数，对（7.1.1）,；对于(7.1.4),；对于（7.1.8), ；对于（7.1.12），。所谓最小信息准则，就是分别取=1，2, 来计算AIC或者SC, 使AIC或SC值所对应的, 为模型合适阶数。相应的模型参数估计为最佳模型参数估计。3、似然比检验法（Likelihood Ratio,LR检验）： 由于，即 相互独立，同服从以为期望向量、为方
