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1、2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨广东深圳市育才中学 王 扬（518067）本文对2005年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。题目：设正数a、b、c、x、y、z满足 ；，求函数的最小值。一几种迷茫思路的分析这道题目初看起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知到此，在u0的情况下，力图使用函数的性质无法得到最小值。思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出x、y、z用a、b、c表
2、达的式子：因为a、b、c；x、y、z都是正数，所以， 即以a、b、c为对应边可以构成一个锐角ABC，令从而，结合Cauchy不等式有令 ,则因为 ， 到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间内使用函数的性质，但也无法得到最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值（由于函数的对称性，可以猜测其最小值在A=B=C=600时达到）吻合，实际上，这是一条无用的信息（表明使用Cauchy不等式过当！），它是答题人再次陷入不能自拔的困境。俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy不等式，需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。二赛题的解答为证明本赛题
3、，我们先证明如下一个引理。引理：在ABC 中，求证： 等号成立的条件是ABC为等边三角形。证明：用向量方法证明如下设是平面上的单位向量，且成角为-A, 成角为-B, 成角为-C,那么， ,所以 注意到，在ABC 中有熟知的等式：.从而得证。有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角ABC， 令从而 等号成立的条件显然是A=B=C=600时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。所以，的最小值为.显然，在时，等号成立，所以的最小值为.三背景探索早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题：在ABC中，是否有： 后来，湖南
4、师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文1曾证明了这一猜想。请看证明：分两种情况（1）当ABC为钝角三角形时，此时不妨设A900， 于是 ，所以 , 再据 ，所以，即此种情况得证。（2）当ABC为非钝角三角形时，所以， 从而 即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。对比之后的叙述与今年的这道竞赛加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在的第2种情况的基础上增加了一个解方程组的程序（并由此判断ABC为锐角三角形）罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组（初中知识的要求），判断三角形种类、与求最值（高中知识的要求）三个问题的简单合成（串联）。顺便指出，的证明曾经是上世纪1990年前后在文2等刊物上讨论过几年的一个结论。 四条件等式的几何解释对比条件等式 ；（注意a、b、c、x、y、z为正数）与ABC中的斜射影定理 以及余弦定理，可知，应有从而，求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结果。另外，有了上边的余弦定理结构，解答中的构造三角形法已经水到渠成了。参考文献1 黄军华 两个猜想的证明 湖南数学通讯2（1996）P34。2 黄汉生 简证 数学通讯6（1991）P2
