生物进化理论的数学模型

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1、山东师大学报?白然科学版? ? ? ? ?年第?卷第?期?总?刁期? ? ? ?址 ? ? 翻?闷肠鹅? ,目? 川丫?目? ? ? ?公?沁如肚翻 ? 山山目? ? ? ? ? ?翻角? ?,? 生物进化理论的数学模型 吴天滨 ?数 学系? 摘要 本丈用 。 ? ?千?为二其建立 了主物竞争的数学模里?用树形竟弃空问建止了生物 进化的数学模型 ? 提出了竟争条件的评价西数与竞争者之问的关木等数学棍念?概述 了虫态平衡的健 机对策撞制方法 、 关桩词 重吐机参变过程 , 竟赛空问 , 随机对策 , 数学摸 型 ? 引言 为了进一步在生愉学研究中发挥数学方法的作用 , 建立生物进化理论的数学棋型

2、是有益 的 ? 生物进化是在可变的决定性因素与随机因素联合作用下的发展过程 ? 重随机参变过程 ? ? ? ?理论正是针对这类过程等作为实际背景而提出的 ? 本文将用 。? 工具和方法建立生 物进化的数学模型扩并对某些实际应用作初步探讨 ? ? 生物竞争的数学模型 犷 生物个体或群体的 一个竞争体系可以用一个重随机参变概率空间及? ? ? ?见幻 等? ?义场 , ? ? ?义 击 , ?切?, ? 卜? ? 人? ? ? ? ?声? , 僻?丈? ?声 ? ? , 处? ? ? , 久? ? ? 来刻划 ? ? 是竞争时限 , ? ? ?是竞争的表现函数类 ?乃? ? ?是竟争的先决条件构成

3、的类 ? 岛是状 态 空 间 ? 对于 二 方竞赛? ? ? 二?窟? ? , , 护? ? ,其元素水? ? ?尸? ? 下 , , 尸? ? , 尸? ? ?是 号竟争者在时刻 ? 的表现指标 ? ? , ?, 是在竞争各方表现为 爪? ?时岛上的概率分布 ? 汽, , 是在宏 观环境变化等前提条件双约之下在? ? ?上的概率分布 ? 这样 , ? ?式可以刻划竞赛的全貌 , 称 之为竞赛空间 ? ? ? 可适当选定 , 称为竞赛过 程 ? 例如可用 ? ?爪?, 叭?表示竟赛各方在时 刻 忿的成绩? ?夕 ? , 、? ? ? 二, , ?二 ? ? ?梦? , ? ? 式中简记 ?罕妞

4、? , 烧?为 ?下 同? 例如 ? 公表示 。号 群体的个体数 , ? 分表示体能指标 , ? 分表示智能指标 , 等等 ? 称 ?气与? 丈的相关系数? ?簇? ?续,? 。 ,、? ?生一? ?义?主一? 主? “? ?叹多,夕夕? 一 ? 一一? 一下二二井二二? ?二罗 丫? ?飞,? ?丈 ? 为 号与夕号的关系 ? 当 成 ?, ? , 力? , 表明在 久条件下号与夕号在时刻是协作的?结盟的? ? , ? ?, 户? ? 敌对的 , 凡?袱 , 力二?独 立的 ? 达尔文在物种起探 中举过的猫 、 鼠 、土 蜂 、 三叶草和三色茧的群体竞争可作为一个简单例子 ? 以 ? ? ?

5、 丈 , ? ?, ? ? 里分别表示在通常条 件 久之下猫 、 鼠 、蜂、 草的个体数量 , 达 尔文的研究表明凡? ? ? , ? ? ! 猫多鼠少 , 猫少鼠多? , 收翁月期 ? 一, 。? 一? ?一 盛 山 东师大 学 报 ? 自 然 科 学 版 ? 匀? 年 ? ? ? , ?鼠多蜂少 , 鼠少蜂多? ,? ? ? , ?蜂多草多 , 蜂少草少? ?, ?猫多 蜂多 , 猫少蜂少? ? 凡? ? ?卜? ? ? 猫多草多 , 猫少草少? ? 振 ?, ? ? , 钓? ? 鼠多草少 , 鼠少草多? ? 在有些生物竞争中 , 条件从? ?是可以由人加以控制的 ? 对竞争条件加以评价

6、是选择优良 竟争条件的基础 , 设 ?义以大为优 , 则 称 ? ? ?、?、?声? ? , 叭? ? ?一?、?声 ? , 叭? ? ? 为双?在? , ? 。?时间内对 号的贡献 , 称 口友 ?。 ? ? 一? ? ? 十 ? ?飞 ? !? , ,? ?飞 几?丹 ? 为 双? ?在? ? , ? 。?时 间内对 号的评价函数 ? ? 树形竞赛空间与生物进化模型 形如? ?式的竞赛空间如果满足以下条件则称之为树形竞赛空间 ? ?二 ? ? ? , 。? , ? ? 为可列维或 。 维但 。 相当大 ? ? ? ? ?是树形的 , 即对任意 ? 夕 , 若在某一 ? , 有 口? ?别

7、? ? , 则对一切 ? 均有 口酬?二口“? , 且必存在 扩? , 使 牙?约? ? ? ? ? 这里 介? ?与别?的的相 等当然是按集合相等的含义 ? 上述定义的实际意义是随着 ?增长?不断分支 , 呈现树形 ? 树形竞赛空间若还满足?当 。 ? , 。 , ? , ?,? 时感 ? 仁气 , 则可作为生物进化空间 , 条件? ? 表明随着时间发展生态现象越来越复杂 ? 树形的 ?刻划遗传和变异 , 随着时间发展 , 在增殖 新个卿寸 刻划各物 出现新的基因类型 , 使生物品种越来越多 , 双? ?刻 划环境条件中的决定性因素 。 爪? ? 以 号 种的竞赛行为 , 场为生存状态 ?

8、概率分布 ?幼?, ?体现 自然选择的作用 , 粗略地说 , ? , , ? ?仁岛?表示 “第 号物种在时间区间? , , ?内生存” , 则 ?妞? ? ? ? ? ? , ? ? ? 表明 在( t l , )阶段竞争中可以生殖繁衍下去 , 此概率越大越有优势 p幼(, , ( B( T ) X A . ( . :,、, =o 表明 号物种在时间区间( , t Z )中将被淘汰 . 我们进一步叙述 “树形”的含义.如果在 某一 时刻 t, 有 口(O二B i(O (按树形定义 , 此时对 一 切 扩 , 均有牙以) =别(f) , 则把口 ()与别以)看作同 一物种的表现 , 亦即 同一

9、物种 ;并且重新 按此区分时刻 t的物种, 编号为 B , ( O , B : (O , , B . ( l ) (O ;: ( O 是时刻 t的物种数 。 按树形竞赛空 间定义 ,。 ( 0 随 增大而 不减 , 还应指出 名 : 时岛 , 气与有些物种在 t, , t: )中被淘汰并不矛 盾 , 因为可以且有必要把被淘汰物种看作继续存在 , 只是其存在的概率为。或很小 .在 生物进 化空间上可以适当定义 O R PP 作为生物进化过程 , 用以描述生物进化的若干数量侧 面. 3 应用概述 上述模型实际 上只是对生物进化提供了一个数学框架 。 掌握这个框架有助 于把生物进化 中的一些数量放到

10、恰当的位置上 , 分析进化现象中的数量关系 , 有助于发现 和研究规律 , 具体 深入研究有赖于多种数学方法的结合运 用 。 这里需要统计分析的方法 , 也需要微分方程等方 法 , 不管用什么方法都需要一些估计的数值 。 原则上说 , 有关爪黔的估计应该用B a ye s 估计 , 这 是 因为在B(T)上有概率分布氏( ,) 在某些相对来说变化不 多 的时 间内可以用传统的统计分析 方法(频率方法) , 一 般惰况 下更多的需要用 广义统计方法(估量概率与频率相结合的方法). 下面 对控制生 态平衡的随机对策方法作一概述 , 作为在进化模型框架下应 用估量概率的 第2期 吴天滨 :生物进化理

11、论的教学模型 广义统计推断的一个简单例子.人类需要 改造 自然 , 控制生态 过 程 , 以求维护 有益于人类 的生 态平衡 , 并不断使伯 的生态平衡平稳地 转变为新的更有利于 人类长远利益的 生态平衡 .如果不 加控制或控制失误 , 则可 能破坏好 的生 态平衡造成 灾难性 的后果.这里主 要靠生物学规律 , 但 数 学方法也有用处 , 下面介绍用随机 对策选择措施 的方法. 设某改造自然的工程有 k个可行的方案刀: , , 八;自然环境有 种可能情况 :, , ,. , 以已 表示 , , 发生的估量概率 , 以凡表示 当 , 发生时采用第 种措施刀 而 能达 到理想生态平衡的估 量概率

12、 , 将以上各数值列成一个对策表如右 , 为选取最好的刀 ., 计算 尸。一 丹 尸 , J 凡 尸,是采用方案历而能 达到理想生态平衡的概率 , 可以选取满足 尸一蹼厂 , 的方案斑 , 这 里的 尸, . 应达到一定的限值 , 比如说应该超过 。 . 8 (有 八成以上成功把握). 参 考 文 献 吴天滨.参变随机过程与重随机参变过程的若干应用.应用数学学报.198 9 , 1 2 ( 3 ) : 2 9 6 一3叫 吴天滨.竞赛模型与随机对策.运筹学杂志.198 7 , 6 (2 ) , 2 7 3 5 吴天滨.参变概率空问与参变随机过程 . 山东师大学报(自然科学版) , 1 9 8

13、9 , 4 ( I ) ; l 5 A M ATHE M ATICAL M ODELOFEVOLUTIONIS M 环匆 r必刀 一 俪 (氏因rtmento fMa,hem a ric s ) Ab str aet I n this 琳p e r , w e m a k eu s e o f th ee on ee P t s o fd ou b! y r an d o m 阵ra m etr一 C P ro bab ili- ty s闪ees and doublyrandom ParametrieProee义祀s (DRP P , s e e 1 , 2 , 3 , e te ) t o

14、e s ta bli s h th e m a th e m a tie a l m o d e l so f eo m p e titio no fli v in g s , an dm a ke u s e o f th e tr ees h a p e eo m p e tition s 阳ce toS etuPthemathematical m 浏elof evolutionism .The concePt s ofvalue function of eom p e titive eondition andrelationshjP b e tween eom p e titorsa res etuP;The eontrolmethe dof eeojogic albalanee a s a randomgame15 讲ob ed . Keywordsdoubly random Pa rametrieProces s , eo m p e tition s 阵ce , ran d o m g a m e , m a th e m a tie a lm xel