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1、第3章 傅里叶级数,卷积方法的基本出发点是，将信号分解为单位冲激信号的移位加权和或者加权积分。,我们可以看出，将任意信号分解为基本信号的组合，往往是分析信号与系统的前提。,本章将介绍信号的另一种分解方式，即傅里叶分解，并且进而引入频谱的概念。,前面两章中，我们以分析信号的时间函数的方式，来分析信号，这种分析方法被称为时域(time domain)方法。,傅里叶方法帮助我们使用信号的频率分量来分析信号，这种方法被称为频域(frequency domain)方法。,我们将看到，在频域上来刻画LTI系统对信号实施的变换，将会使分析变得相当简单。,频域方法是一类重要的系统与信号的分析方法，除用于LTI
2、系统的分析以外，它还适用于更广泛的系统分析，或者仅仅分析信号本身。,傅里叶分解的基本出发点是将信号分解为复指数信号的加权和，或者积分。 复指数信号的物理背景就是正弦信号。在电路分析等课程中，我们对正弦信号已经有了足够的了解。人们很早就意识到，正弦振荡是各种振荡的基本形式，这正是傅里叶分解的真正基础。 傅里叶分析帮助我们从时域的分析方法转变到频域的分析方法。工程上，频域方法具有更加广泛的应用，是一种常用的信号分析方法。,3.1 傅立叶分析引论,在介绍周期信号的傅里叶分解之前，我们先讨论一下LTI系统对典型正弦信号和复指数信号的响应。 在电路分析里面，我们知道线性时不变系统在正弦信号的激励下，其响
3、应仍然是同频率的正弦信号，只是在幅度和相位上有所变化。,LTI,LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号,复指数信号激励LTI系统的情况。,LTI,?,LTI,LTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号,系统函数,传递函数,如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和,完全说明了LTI系统的变换规律,可以针对输入信号的复指数分解, 求得LTI系统的输出响应。,在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数,由此导出的方法称为傅里叶(Fourier)方法；傅里叶方法是以法国数学家, 物理学家傅里叶(1768-1830)的名字命名的。,由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法，在第九章 里面讨论。,
4、如果不对复数s进行限定，即,3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数展开,在工程实际中，并不存在复指数信号。 复指数信号的物理背景是正弦信号。只是为了简化数学推导和方便运算，我们才引入了复指数信号这样一种数学工具. 复指数信号和正弦信号到底是一种什么关系呢？这是本节首先要解决的问题。,3.2.1 谐波复指数信号集,如果一个以,为周期的周期信号,满足，,存在一个傅里叶级数的表达,。,k次谐波分量,直流分量,基波分量,谐波合成,欧拉公式,例题3.1 将下面的复指数信号的线性组合变换为正 弦信号的线性组合，其中，,解：,和,表示了频率为,的正弦信号的权重。,物理上存在的信号都是实信号。 下面讨论信号为实
5、函数的情况。,因此，,严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。,3.2.2 傅里叶级数系数的确定,正交函数集,正交函数集的概念,正交函数集？,周期函数的一个基本性质。,一个以T为周期的周期函数在一段长度为T的区间上的积分，与起始位置无关,正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等,对于高次谐波而言，无非是在一个周期之内，上波瓣和下波瓣多了一些，但是上波瓣的总面积和下波瓣的总面积还是相等的，,如果可以分解，利用正交性来求傅里叶级数的系数,傅里叶级数分析公式,傅里叶级数综合公式,频率分量在信号中所占的比重,一个特殊的频率分量,信号的均值,例题3.2 试确定,的傅里叶级数,解：根据欧拉公式，,例题3.3
6、 试确定周期方波信号的傅里叶级数,解：根据傅里叶级数分析公式，,避免被零除,3.3 傅里叶级数的收敛问题,复指数信号是连续的，而任意信号却不一定。 什么样的信号可以展开成傅里叶级数？ 有限多个连续函数累加起来仍然是连续函数，而无限多个连续函数累加起来是否可以收敛到一个不连续函数？ 这就成了法国学者傅里叶与其同时代的其他学者争论的焦点。,傅里叶认为，周期信号无论连续与否都可以表示为傅里叶级数. 但后来的许多学术的发展证明了傅里叶当初的论断至少在数学上是不严密的。从数学上来讲，无穷级数的收敛是有条件的。如果级数不收敛，那么级数的表示也是不成立的。 在傅里叶级数的收敛性研究方面，狄利赫利等人卓有成效
7、的工作完善了傅里叶分析方法，给出了傅里叶级数的收敛条件。由于收敛条件的证明过于专业化，不便在本书中展开详细讨论。本节只是给出了这些收敛条件的理论结论。,讨论傅里叶级数的收敛问题，所采用的收敛 准则是误差平方和准则，又称为误差能量准则。,在工程上，不可能用无穷多项级数来表述信号，一般只能用有限项级数的谐波合成来表达信号，即：,近似的误差,误差信号的能量,能量的角度,收敛,近似,可以证明,如果,2.如果,不连续，但是平方可积,不加证明地给出傅里叶级数收敛的条件:,连续，其傅里叶级数一定收敛.,3. 狄里赫利(Dirichlet)条件，该条件包括三个部分，分别是：,满足狄里赫利条件，可以保证，在,的
8、意义上，,的傅里叶级数收敛，并保证在每一个连续点上，,都收敛于其傅里叶级数表达。,条件1：绝对可积(Absolutely Integrable),条件2：在一个周期内，最大值和最小值数目有限。,条件3：有限区间内有有限个不连续点,从傅里叶级数的收敛条件可以看出，对于 常见的信号而言，其傅里叶级数都是收敛 的，这是傅里叶分析方法经久不衰，得到 广泛应用的基础。,几个不满足收敛条件的例子,不满足狄里赫利条件2的例子。,并对它进行周期延拓，,不满足狄里赫利条件3的例子,3.4 连续时间傅里叶级数的性质,可以将获得傅里叶级数的系数的过程，看成是从一个连续时间的周期信号到一个离散序列的变换，简记为：,3
9、.4.2 时间平移性质,3.4.1 线性,3.4.3 时间反转特性,3.4.4 时域尺度变换,3.4.5 相乘特性,3.4.6 共轭及共轭对称性,实信号,实信号频谱的幅度谱线关于y轴对称。 两个共轭的复指数信号组成了一个正弦信号。,3.4.7 帕斯瓦尔(Parserval )定理,例题3.4 连续时间周期信号的傅里叶级数为：,试证明：,1、如果,为实偶信号，则,为实数；,2、如果,为实奇信号，则,为虚数；,3、如果,为虚偶信号，则,为虚数；,4、如果,为虚奇信号，则,为实数；,解：,实偶信号,实奇信号,虚偶信号,虚奇信号,3.5 离散时间周期信号的傅里叶级数展开,与连续时间周期信号的傅里叶级数
10、类似，离散时间周期信号的傅里叶级数也是信号频域分析的基础。 本节专门讨论离散时间周期信号分解为傅里叶级数的问题。,3.5.1 谐波复指数信号集,成谐波关系的复指数信号构成了信号分解的基本依据。,离散时间信号的傅里叶级数只有有限多项,任意一段长度为N的区间上的求和,任意一个周期长度内的求和运算相等,离散时间周期信号存在一个傅里叶级数的表达，或者说成谐波关系的复指数信号的上述组合是的傅里叶级数展开，也可以说，周期信号分解为傅里叶级数,综合公式,弹性的求和起始位置，有时可以简化分析计算过程。,3.5.2 确定傅里叶级数的系数,正交?,离散时间傅里叶级数的系数的一个特点就是它的周期性,综合公式,分析公
11、式,例题3.6 计算周期序列,的傅里叶级数,解：,组成了,在一个,周期内的频谱。,例题3.7 计算周期离散方波信号的傅里叶级数，其中,解：由傅里叶分解公式,离散时间傅里叶级数与连续时间傅里叶级数的另外一个重要区别 就是，因为离散时间傅里叶级数只有有限多项，因此它不存在收 敛问题，只要级数,离散时间信号,有了N项离散时间傅里叶级数就可以如实地再现,3.6 离散傅里叶变换,在讨论了离散周期信号的傅里叶级数展开的基础上，本节讨论非周期的有限时间长度的离散信号的傅里叶分析。 对于有限时宽的离散信号，我们有其独特的傅里叶表示_离散傅里叶变换。 本节的讨论是为了信号的计算机处理做准备。计算机由于存储容量的
12、限制，不可能处理无限长的序列，只能处理有限长的序列。,长度为N的序列,当,或者,周期延拓，形成一个周期信号,修改一下离散周期信号的傅里叶级数表达式,离散傅里叶变换,我们注意到：离散时间傅里叶级数可以看成是将一个N周期的序列变换为另外一个N周期的序列的变换； 而离散傅里叶变换（DFT）却是，将一个0到N-1的序列变换到另外一个0到N-1的序列的变换。,3.7 快速傅里叶变换（FFT）,离散傅里叶变换（DFT）在信号处理中是常用的计算，在第七章中我们还会讨论DFT和连续时间傅里叶变换的关系。 在工程上，我们都是通过DFT来求信号的频谱的，DFT是由时域分析进入频域分析的一个关键环节，因此，能否快速
13、地计算DFT是实时信号处理的关键。 所谓快速傅里叶变换FFT是一种计算DFT的快速算法，它的提出大大推动了信号处理技术的实用化。,3.7.1 计算复杂性(computational complexity),计算复杂性是计算机学科里面的一个专用术语，它是用来描述算法的计算效率的一个指标，它度量的是算法所需要的乘法或者加法的次数与计算对象的规模之间的关系。 在这里，计算对象的规模一般是计算对象的大小，例如：图像的像素点数、一段一维信号的采样点数。 我们通过分析DFT的计算机算法来理解，计算复杂性这个概念。,根据定义来计算DFT：,计算复杂性,3.7.2 时间抽取FFT算法,是原信号的偶数点所组成的信号,的DFT的两次延拓;,是原信号的奇数点所组成的信号,的DFT的两次延拓。,DFT,4点 DFT,4点 DFT,进一步分解为奇数点和偶数点，,当然，4点DFT还可以进一步分解为2点DFT,第一级 第二级 第三级,N点的FFT，有,级碟形运算。,每一级碟形运算有N次乘法，N次加法。因此我们说，FFT的,计算复杂性是,级别的。,比较一下DFT正变换和DFT反变换，可以发现，它们的差异很小。因此，计算DFT正变换的FFT程序稍加参数的改动，就可以计算DFT反变换。 除了按时间抽取的FFT算法，还有按频率抽取的FFT算法，还有不限定N的取值的FFT算法。,
