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1、吉布斯采样,尚文荟,主要内容,吉布斯现象 吉布斯采样 贝叶斯统计的框架分析 MCMC(马尔可夫链蒙特卡罗) Gibbs采样在图像分割中的应用,吉布斯现象,吉布斯现象Gibbs phenomenon（又叫吉布斯效应）： 将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。,w=(max(y)-1)/2; plot(t,s,t,y);,k=0.001;%取点间隔 N=50;%选取傅里叶项数 t=-2*pi:k:2*pi; s=square(t);%产生矩形波 y=0; for n=1:2:N, y=y+4/pi*sin(n*t)/n; end,定义,Gibbs采样,MC
2、MC(Markov chain Monte Carlo ):马尔可夫链蒙特卡罗,贝叶斯统计的框架分析,困难: 后验分布是复杂的、高维的分布 解决方法:马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法,后验分布 先验信息 似然函数,MCMC,目前，MCMC已经成为一种处理复杂统计问题的特别流行的工具，尤其在经常需要复杂的高维积分运算的贝叶斯分析领域更是如此。在那里，高维积分运算主要是用来求取普通方法无法得到的后验分布密度。如果合理的定义和实施，MCMC总能得到一条或几条收敛的马尔可夫链，该马尔可夫链的极限分布就是所需的后验分布,（二）基本思想,Gibbs采样步骤,Gibbs采样在图像分割中的应用,马尔科夫随机
3、场（MRF） MRF的概念 领域系统 MRF与Gibbs之间的等价关系 基于MRF的图像分割模型,马尔科夫随机场,随机场：当给每个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫随机场。其中有两个概念：位置，相空间。,一维马尔科夫随机过程很好的描述了随机过程中某点的状态只与该点之前的一点的状态有关系。对于定义在二维空间上的图像，也可以将它看为一个二维随机场。自然也存在二维马尔科夫随机场，此时必须考虑空间的关系，二维MRF的平面网络结构同样可以较好地表现图像之间的空间相关性。,邻域系统,子团,S中有不同的邻域结构，在S上由单个像元或由像元与其邻点组成的子集 称为一个子团。子团c的集合用C
4、来表示。,基团：在S中有不同的邻域结构,当子集cS中的每对不同位置总是相邻的,称c是 一个基团,MRF与Gibbs分布的等价关系,马尔科夫模型：,Gibbs分布,基于MRF的图像分割模型,图像分割可以看作是一个统计的推断问题，基于MRF的模型假设分割图像的像素只与邻域内的像素有关；因此我们可以根据最大后验概率准则（MAP），有效利用像素之间的结构信息分割图像。,模型的数学定义,通常只考虑有两个节点的势团。当所考虑是各相同性的马尔科夫场时，势函数如下：,其中参数 分别是第m区域的均值和 方差。,利用Gibbs采样进行图像分割,则MAP准则变成：,在这里进行有监督的模式，首先认为的将图像进行划分为
5、L个区域，并给出这些区域的样本，计算各个样本的均值和方差作为似然函数参数的初始值 得出2L+1个参数 1）按照一定的扫描形式对图像进行扫描，首次依据似然函数P(Y/X)最大的原则，遍历图像的每个元素s取其标号为w ,从而得到图像的初始分割。,利用Gibbs采样进行图像分割步骤,2）根据目标函数计算当前分割结果：取k 为当前的迭代次数，随机或按照固定扫描方式选取一个像素点s，定义 定义函数 计算向量,取s的使V（s,i）最大的i作为该像素点的标号，直到遍历整个图像，得到标记场 3）判断收敛条件：以每次迭代过程中全局能量的变化量为收敛条件，计算当前全局能量的值： a）如果 认为全局能量变化小，标量场 为最后的分割结果，其中 为设定的能量该变量阈值。,b)否则取 k =k+1，修改温度系数，取 ，其中 取经验值在 0.8-0.98 之间的值，转到步骤 2）。同时计算当前的各区域的均值和方差；,
