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1、2.4 信号的频域分析,第二章、信号分析基础,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,大型空气压缩机传动装置故障诊断,频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。,2.4.1 周期信号的频谱,周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：
2、 x ( t ) = x ( t + nT ),1、傅里叶级数的三角展开式,在有限区间上，凡满足狄利克雷条件的周期信号x(t)都可以展开成傅里叶级数（三角函数的叠加）。 狄利克雷条件：信号在一个周期内连续或只含有有限个间断点。,傅里叶级数的表达形式：,变形为：,周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。 以角频率为横坐标，幅值An或相角 为纵坐标作图，则分别得其幅值谱图和相位谱图，合起来称为频谱图。 通常把0称为基频，并把成分 称为n次谐波。,A,幅值谱图,相位谱图,例1、求如图所示三角波的傅里叶级数展开，并画出频谱图。,解：1、x(t)的函数表达式：,2、求a0：,3、求
3、an:,5、写出展开式：,4、求bn:,6、画出频谱图,= 0,幅频图 相频图,从上题可以得到如下结论：,（4）周期信号的频谱的意义：各次谐波的幅值大小及能量大小。,（1）复杂周期信号可分解为各次谐波的叠加；,（2）偶函数无正弦分量，奇函数无余弦分量和常数量；,（3）周期信号的频谱是离散的；,2、傅里叶级数的复指数展开式,将欧拉公式，,则有：,代入,令：,合并后有：,复指数与三角函数不同之处？,三角函数在正频率范围内展开，是单边幅值谱，而复指数展开时在整个频域里，是双边幅值谱。,一般是复数。,、 、 、 与之间的关系图分别称为幅值谱、相位谱、实频谱图和虚频谱图。,例2、画出余弦、正弦信号的实、
4、虚部频谱图。,解：写出复数表达式： 对 有： 对 有：,周期信号的频谱具有如下特点： 周期信号的频谱是离散的。（离散性） 每条谱线只出现在基波频率的整倍数上。（谐波性） 各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。（收敛性）,幅频图 相频图,2.4.2 非周期信号的频谱,非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。,所以：,令：,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换（IFT）,将X()中的用f (f=/2)代替，傅里叶变换对变为：,x(t)
5、 , 所以 量纲就是x(t)量纲。 非周期信号：,X(f)为信号单位频宽上的幅值大小，是频谱密度函数，量纲为幅值/Hz。,思考：非周期信号频谱的意义？,周期信号：,非周期信号傅里叶变换存在的充要条件是： 满足狄里赫利条件（在非周期时间段内连续或有有限个间断点） 绝对可积，即 能量有限信号，即,把非周期信号的频谱表示成复数形式：,为x(t)的幅值谱密度,为x(t)的相位谱密度,为能量谱密度,实部为实谱密度，虚部为虚谱密度。,例：求如图矩形脉冲信号x(t)的幅值谱密度，已知,利用欧拉公式：,傅立叶变换的性质,意义：对复杂信号的频谱分析处理，可以分解为对一系列简单信号的频谱分析处理。,例子：求下图波
6、形的频谱,2）时移性,意义：信号的时移对其幅值谱密度无影响，而相位谱密度则叠加了一个与频率成线性关系的附加量，即时域中的时移对应频域中的相移。,3）频移特性（调制的数学基础调制性）,意义：信号x(t)乘以复指数（复调制）后,其时域描述已大大改变,但其频谱的形状却无变化,只在频域作了一个位移。,例：求,解：,思考：,4）时间比例性,意义：当时域尺度压缩（a1）时，对应的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展开（a1）时，对应的频域压缩且幅值增加。,5）对称性质,意义：由已知的傅里叶变换对，获得逆向相应的变换对。如时域的矩形窗函数对应频域的sinc(t)函数，则时域的sinc(t)函数对应频域的矩形窗函
7、数。,几种典型信号的频谱,1、(t)的频谱密度,图2-17 函数及其频谱密度,意义：单位冲击函数具有无限宽广的频谱密度，而且在在整个频率范围内不衰减，处处强度相等。,根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质可以得到以下傅里叶变换对：,2、正、余弦函数的频谱密度,3、矩形窗函数的频谱密度,4、指数函数的频谱密度,5、周期信号的频谱密度,？,绝对可积？能量有限？,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,频谱分析的应用,
