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1、2.4 信号的频域分析,第二章、信号分析基础,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f),从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小,能够提供比时域信号波形更直观,丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例:受噪声干扰的多频率成分信号,大型空气压缩机传动装置故障诊断,频域参数对应于设备转速、固有频率等参数,物理意义更明确。,2.4.1 周期信号的频谱,周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号,满足条件:
2、 x ( t ) = x ( t + nT ),1、傅里叶级数的三角展开式,在有限区间上,凡满足狄利克雷条件的周期信号x(t)都可以展开成傅里叶级数(三角函数的叠加)。 狄利克雷条件:信号在一个周期内连续或只含有有限个间断点。,傅里叶级数的表达形式:,变形为:,周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。 以角频率为横坐标,幅值An或相角 为纵坐标作图,则分别得其幅值谱图和相位谱图,合起来称为频谱图。 通常把0称为基频,并把成分 称为n次谐波。,A,幅值谱图,相位谱图,例1、求如图所示三角波的傅里叶级数展开,并画出频谱图。,解:1、x(t)的函数表达式:,2、求a0:,3、求
3、an:,5、写出展开式:,4、求bn:,6、画出频谱图,= 0,幅频图 相频图,从上题可以得到如下结论:,(4)周期信号的频谱的意义:各次谐波的幅值大小及能量大小。,(1)复杂周期信号可分解为各次谐波的叠加;,(2)偶函数无正弦分量,奇函数无余弦分量和常数量;,(3)周期信号的频谱是离散的;,2、傅里叶级数的复指数展开式,将欧拉公式,,则有:,代入,令:,合并后有:,复指数与三角函数不同之处?,三角函数在正频率范围内展开,是单边幅值谱,而复指数展开时在整个频域里,是双边幅值谱。,一般是复数。,、 、 、 与之间的关系图分别称为幅值谱、相位谱、实频谱图和虚频谱图。,例2、画出余弦、正弦信号的实、
4、虚部频谱图。,解:写出复数表达式: 对 有: 对 有:,周期信号的频谱具有如下特点: 周期信号的频谱是离散的。(离散性) 每条谱线只出现在基波频率的整倍数上。(谐波性) 各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。工程中常见的周期信号,其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。(收敛性),幅频图 相频图,2.4.2 非周期信号的频谱,非周期信号是时间上不会重复出现的信号,一般为时域有限信号,具有收敛可积条件,其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。,所以:,令:,傅里叶变换(FT),傅里叶逆变换(IFT),将X()中的用f (f=/2)代替,傅里叶变换对变为:,x(t)
5、 , 所以 量纲就是x(t)量纲。 非周期信号:,X(f)为信号单位频宽上的幅值大小,是频谱密度函数,量纲为幅值/Hz。,思考:非周期信号频谱的意义?,周期信号:,非周期信号傅里叶变换存在的充要条件是: 满足狄里赫利条件(在非周期时间段内连续或有有限个间断点) 绝对可积,即 能量有限信号,即,把非周期信号的频谱表示成复数形式:,为x(t)的幅值谱密度,为x(t)的相位谱密度,为能量谱密度,实部为实谱密度,虚部为虚谱密度。,例:求如图矩形脉冲信号x(t)的幅值谱密度,已知,利用欧拉公式:,傅立叶变换的性质,意义:对复杂信号的频谱分析处理,可以分解为对一系列简单信号的频谱分析处理。,例子:求下图波
6、形的频谱,2)时移性,意义:信号的时移对其幅值谱密度无影响,而相位谱密度则叠加了一个与频率成线性关系的附加量,即时域中的时移对应频域中的相移。,3)频移特性(调制的数学基础调制性),意义:信号x(t)乘以复指数(复调制)后,其时域描述已大大改变,但其频谱的形状却无变化,只在频域作了一个位移。,例:求,解:,思考:,4)时间比例性,意义:当时域尺度压缩(a1)时,对应的频域展宽且幅值减小;当时域尺度展开(a1)时,对应的频域压缩且幅值增加。,5)对称性质,意义:由已知的傅里叶变换对,获得逆向相应的变换对。如时域的矩形窗函数对应频域的sinc(t)函数,则时域的sinc(t)函数对应频域的矩形窗函
7、数。,几种典型信号的频谱,1、(t)的频谱密度,图2-17 函数及其频谱密度,意义:单位冲击函数具有无限宽广的频谱密度,而且在在整个频率范围内不衰减,处处强度相等。,根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质可以得到以下傅里叶变换对:,2、正、余弦函数的频谱密度,3、矩形窗函数的频谱密度,4、指数函数的频谱密度,5、周期信号的频谱密度,?,绝对可积?能量有限?,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量,是信号分析中最常用的一种手段。,案例:在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析,确定最大频率分量,然后根据机床转速和传动链,找出故障齿轮。,案例:螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速,确定螺旋浆转速工作范围。,频谱分析的应用,