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1、第四章 二维变换和二维观察,二维变换内容,图形变换预备知识 Basic transformation（基本变换） Matrix representation（矩阵表示） Composite transformation（复合变换） Other 2D transformations （其他变换） Transformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换） Raster method of transformation（变换的光栅方法）,4.0 图形变换预备知识,矢量 矢量和,4.0.1 矢量和矩阵,矢量的数乘 矢量的点积 性质,矢量的长度 单位矢量 矢量
2、的夹角 矢量的叉积,矩阵 阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆,矩阵的含义 矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。,A=,矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B = 数乘 kA = k*aij|i=1.m, j=1, n,乘法 设A为32矩阵，B为23矩阵 C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am n = Am n In,k=
3、1,n,逆矩阵 若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AB)T = BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。,矩阵运算的基本性质 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A,矩阵乘法的结合律及分
4、配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B 矩阵的乘法不适合交换律,所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2, ,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标
5、就是普通坐标系下的n维坐标。,4.0.2 齐次坐标,(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线,1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x h, y h, h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现,齐次坐标的作用,图形变换是计算机图形学基础内容之一。 几何变换，投影变换，视窗变换 线性变换，属性不
6、变，拓扑关系不变。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。,4.0.3 图形变换,图形的几何变换,图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。 图形变换的两种形式： 1.图形不变，坐标系改变； 2.图形改变，坐标系不变。 我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲的。,二维变换内容,图形变换预备知识 Basic transformation（基本变换） Matrix representation（矩阵表示） Composite transformation（复合变换） Other 2D transformations （
7、其他变换） Transformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换） Raster method of transformation（变换的光栅方法）,4.1 Basic Transformations基本变换,Def. 改变对象坐标描述的变换称为几何变换，例如改变对象的方向、尺寸和形状。 Def. Geometric transformations alter coordinate descriptions of objects, such as changes in orientation, size and shape. Types Trans
8、lation平移 Rotation旋转 Scaling变比,4.1.1 2D 平移,Translation平移 Def. 图形对象沿直线运动产生的变换 Parameters:平移向量(tx, ty) Formula: x = x+tx y = y+ty,矩阵表示 x x tx P= P= T= y y ty P = P + T,Example,4.1.2 2D 旋转,Rotation旋转 Def.图形对象沿圆弧路径运动产生的变换 Parameters 基准点(pivot)，坐标原点或任意点 旋转角 方向,约定：逆时针为正,绕原点旋转,绕任意点旋转,Formula 针对坐标原点 x=x*cos-
9、 y*sin y= x*sin+ y*cos 如何得到上述公式? 针对任意点(xr, yr)旋转的计算公式?,x=r*cos(+ ) =r*(cos *cos-sin*sin) =rcos*cos - rsin*sin = x*cos- y*sin y=r*sin(+ )=r*(cos*sin+sin*cos) =rcos*sin + rsin*cos = x*sin+ y*cos,矩阵表示 x x cos -sin P= P= R= y y sin cos P = R P,旋转也是一种不产生变形而移动对象的刚体变换。,Scaling变比 Def. 改变图形对象大小的变换 Parameters
10、:变比因子(Sx, Sy), 基准点，方向 Formula: 针对坐标原点 针对固定参考点(xf,yf) x=x*Sx x=xf+(x-xf)*Sx y=y*Sy y=yf+(y-yf)*Sy,4.1.3 2D 变比（缩放）,矩阵表示 x x sx 0 P= P= S= y y 0 sy P = S P,Example,2D变比讨论,如果|Sx|或|Sy|大于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向放大； 如果|Sx|或|Sy|小于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向缩小； 如果|Sx|=|Sy|，则表示均匀缩放； 如果|Sx|Sy|，则表示差值缩放； 如果|Sx|或|Sy|等于1，则表示图形在X轴方
11、向或Y轴方向不变； 如果Sx或Sy小于零，则表示图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。,二维变换内容,图形变换预备知识 Basic transformation（基本变换） Matrix representation（矩阵表示） Composite transformation（复合变换） Other 2D transformations （其他变换） Transformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换） Raster method of transformation（变换的光栅方法）,4.2 2D 矩阵表示,在图形系统中，矩阵式实现变换的标准方法
12、。 P = P+T (平移); P = RP (旋转); P = SP (变比); 对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为普通距阵形式： P = M1 * P + M2 采用齐次坐标(xh, yh, h)表示每个2D坐标位置(x,y) 齐次坐标表示就是用n+1维向量表示n维向量。,P = M * P,4.2 2D 矩阵表示,Point (x,y) (xh, yh, h) (x, y, 1)T 2D graph 3xn 基本变换参数 3x3 2D 图形变换坐标计算： P最终坐标 = M变换矩阵* P原坐标,平移变换 x 1 0 tx x y = 0 1 ty y 1 0 0 1 1
13、P=T(tx,ty)*P,举例,旋转变换 x cos - sin 0 x y = sin cos 0 y 1 0 0 1 1 P=R()*P,举例,变比变换 x sx 0 0 x y = 0 sy 0 y 1 0 0 1 1 P=S(sx,sy)*P 注意：上述三种都是针对坐标原点和X/Y轴方向的。,举例,Basic transformation（基本变换） Matrix representation（矩阵表示） Composite transformation（复合变换） Other 2D transformations （其他变换） Transformation between Coord
14、inate Systems（坐标系间的变换） Raster method of transformation（变换的光栅方法）,二维变换内容,4.3 复合变换,进行一次以上的基本变换 复合变换 利用矩阵表示，就可通过计算单个变换的矩阵乘积，将任意顺序变换的矩阵建立为组合变换矩阵。 形成变换矩阵的乘积被称为矩阵的合并(concatenation)或复合(composition),4.3 复合变换,Translations 连续平移 Rotations 连续旋转 Scalings 连续变比 General pivot-point transformations 通用基准点的变换 General D
15、irections transformations 通用方向的变换,4.3.1 Translations 连续平移,n个连续的平移向量(tx1 , ty1),(tx2 , ty2), ,(txn , tyn)被用于点P，那么最后的点坐标可计算为 P = T(txn, tyn)* T(tx2, ty2) *T(tx1, ty1) P = T(txn, tyn)* T(tx2, ty2) *T(tx1, ty1) P 计算时，可先计算两个平移变换矩阵的乘积 T(tx2, ty2) T(tx1, ty1) = T(tx2 + tx1, ty2+ ty1) 连续平移是可加的,平移变换 x 1 0 tx 1 0 tx1 y = 0 1 ty 0 1 ty1 *P 1 0 0 1 0 0 1 1 0 tx+ tx1 P= 0 1 ty+ ty1 *P 0 0 1,举例,4.3.2 Rotations 连续旋转,应用于点P的n个连
