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1、2015年8月 Aug，2015 计算数学 MATHEMATICA NUMERICA SINICA 第37卷第3期 Vo137，No3 中子输运方程误差估计及自适应计算q) 刘会坡 (北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室，北京100094) 摘 要 本文研究了全离散方法求解二维中子输运方程的有限元自适应算法，角度变量用离散纵坐标 方法展开，空间变量用间断元方法求解基于间断元方法给出了空间离散的残量型后验误差估计 在后验误差估计的基础上，我们设计了自适应有限元算法由残量型后验估计可以给出局部加密 网格的自适应算法最后，我们给出了数值算例来验证我们的理论结果 关键词：中子输运；间断有限元；后
2、验估计；自适应算法 MR(2000)主题分类：65N30 1引 言 近年来发展的自适应有限元算法被大量理论和计算实践证明可以大大提高计算效率，在 专著2，12】中总结了自适应算法的理论基础对于椭圆和抛物方程自适应算法的研究已经比 较成熟，通过可靠的后验估计量指导网格加密，可以减少计算量提高计算精度 然而应用白适应算法计算复杂的输运方程的研究还不是很多由于输运方程的计算量比 一般的椭圆和抛物方程要大得多，所以更能体现出自适应计算的优点但是由输运方程角度 离散后得到的双曲方程组的性质没有一般的椭圆和抛物方程的好，例ta：双曲方程的解的光 滑性很差因此研究中子输运方程的自适应计算有重要的理论意义和实
3、用价值在文献【47】 研究了典型中子输运方程的计算方法和先验误差估计，本文研究二维直角坐标系输运方程的 近似后验误差估计和自适应算法 2中子输运方程全离散间断有限元后验误差估计 我们考虑下面的单群中子输运方程，Q c 是带有边界r的凸多边形区域给定源函数 厂和系数 ，求解乱( ； )满足： vu( )+u( )= ) + ， ( )Ex S, 乱( ， )=0，On r一， 其中 F一：xF： n(x)0)， = 1， 2)， S= 2：I l=1 n(x)表示边界r在X处的单位外法线方向 (21) (22) 2o15年1月8日收到 1)基金项目：国家自然科学基金(11001027)和中国国家
4、重点基础研究发展计划(2011CB309705)资助项目 3期 刘会坡：中子输运方程自适应计算 265 首先用离散纵坐标方法离散方程(21)和(22)的角度变量，其中Q= 1， )是积 分点 tS的集合， 是正的积分权重我们选择下面的积分法则【。， 。】： Q= n ) 则积分格式可以写成下面的近似形式 UN 磊 (23) 设 = )是区域Q的三角剖分，参数h表示三角形K 的最大直径下面引出 有限元空间： V = L2(t)：I 是线性的，K ， 即， 是不连续分片多项式空间 我们应用离散纵坐标方法离散角度变量，方程(21)可以写成下面的一阶双曲系统：求解 U= ( ， 1)，札( ， 2)，
5、u(x， )满足 Eu三 +等= ft, 4、 三 +百+ u = f n f2 4、 ABfn)u：0 on F， 、 = ：j co 2丌)，B=(si l 1一A2N IA27rN G：I AB一(n)表示下面矩阵的负定部分 一 27r 1一A21r|N -A27r|N 一 27r -A27r|N AB(n)三nlA+n2B， 1一A27r|N 0 l l sin27r 其中n=(nl，TL2)表示边界r的单位外法线方向 对于v，w(H (Q)，定义双线性形式： w，V) 聂Kwvdx+一E 7(w+，w V舢 其中 (，)是数值通量函数： 7(u+，U一，n)= B+(n)u+AB一(
6、n)u一， 计算数学 这里AB+(n)是矩阵AB(n)的正定部分，v士( )=lim v(x+s )， OK，n=n(x)表示 8_0 OK的单位外法线方向对于v(H ( )，我们考虑线性函数： ，V 咄 “ 双曲方程组(24)的间断有限元方法为：求解U ： ( ， 1)，Uh( ， 2)， ( ， ) ( )三Vh满足 B(L：uh，vh)=L(f，Vh)，Yv E Vh (25) 设 ( )= h( ， )u 如果 不是方程(21)的本征值，且足够大，则我们有 mQ 下面的误差估计l6J IIU ll C(1leNIl+llel1) (26) 这里e表示角度离散引起的误差，e 表示空间离散
7、引起的误差，他们的定义分别为： 其中 eN(X) eh( ) = 一三 定理1设 是区域Q的拟一致剖分， 是分片线性多项式空间则， ehl1 c 3 K2 VK ， 。 2 vT rh=(，meas( ) 去(I【V 。 rEOK 表示单元 边丁的长度，】 表示穿过边丁的跳跃 证明我们引入准确解U的局部 2一投影U V (uu )v dx=0， VvhV ， VK 应用BrambleHilbert引理 和标准的误差估计【1】j我们有 lluu 0,K Ch lul2，K， IluUIll0,0 Ch。IuI2，K 考虑方程(24)的对偶方程：对于w E(L2(Q) cs三 + +Gs：w in
8、 Q， dX d AB+(n)s：0 Oil r 求解近似解s V使下式成立 B(csh，vh)=n(w，v)VvhVh (27) (28) 3期 刘会坡：中子输运方程自适应计算 267 解s满足下面的稳定估计【11】 llsh + 圳(c_G) (s n)Ids+ n)ldsCll wll 选取w=v=(U一U )V 和，则有 lluhUIlI。=B(csh，UU ) 对于所有vhVh，我们有shVh和B(Z(uUh)，vh)=0，应用CauchySchwarz不等式 有 I1uhu (C1h。 +c211allo。h。)lul2 其中Ilalloo=max ： Gij注意到lu12 cIu
9、NI2，1le I1 =IluUhll并应用三角不等式， 最后得到 1le lI lluUIll+IIuhu 1 (C1h。+c(1lall。-t-1)h。)l I2 由于C(1lall。+1)h 是高阶量，所以有 1Ie Ch。I l2 我们应用D 逼近半模I ，l2，K(参看9)这样可以得到如下的局部误差指示子： Ilell0， 3 2 V E 证明完毕 3数值算例 本节给出三个数值算例验证我们的理论结果我们计算下面的二维中子输运方程 ， x El2 ,u(x 0 X x E 012 c3 ， )= ， r一= r= ： 几( )0， 、 其中Q=0，1】X【0，1， E S= 。； =1
10、)，n(x)是r在 r处的单位外法线方向 基于后验误差估计我们设计相应的可靠和有效的自适应算法，加密网格方法参见3，12】 自适应算法由下面五步构成： 产生初始网格 按照每个流入方向 ( ：1，2，)，排序剖分单元 1， ，； 应用迭代技术计算 ，然后对所有K E 计算单元误差叩 (钆 )，其中叩K(札 )： 3 K2 ； 假如 (u ) r (uh)，则标记单元K，其中r E(0，1)是给定的加密参数，这里取 r=05： 3期 刘会坡：中子输运方程自适应计算 271 通过以上三个算例，我们可以看到定理给出的近似后验误差估计是可靠和有效的一般来 说求解中子输运方程主要是由解的间断性引起较大的误
11、差，对于精确解不光滑的算例能准确 找到中子输运方程解间断的地方 参考文献 Adams R ASobolev SpacesM】Academic Press，New York，1975 Ainsworth M and Oden J TA Posteriori Error Estimation in Finite Element AnalysisM1Series in Computational and Applied Mathematics，1996 Arnold D N，Mukherjee A and Pouly LLocally adapted tetrahedral meshes using
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